Trung điểm của một đoạn thẳng là trung điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng. Đây là một kiến thức cơ bản của chương trình môn toán. Hãy tìm hiểu về trung điểm của đoạn thẳng.
1. Xác định trung điểm của đoạn thẳng?
Trung điểm là điểm ở giữa đoạn thẳng và chia đoạn thẳng thành hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Chẳng hạn, ta có đoạn thẳng AB, điểm M nằm trên AB và AM = MB. Vậy M là trung điểm của đoạn AB.
2. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng:
– Nếu M là trung điểm của AB thì MA = MB = AB/2
Trung điểm của đoạn thẳng còn được gọi là trung điểm của đoạn thẳng.
Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm.
– Mỗi đoạn thẳng có nhiều điểm ở giữa.
Trung điểm nằm giữa và cách đều hai điểm cuối của đoạn thẳng.
– Tính chất vectơ của trung điểm:
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta có:
cho mọi điểm M.
3. Hướng dẫn vẽ trung điểm của đoạn thẳng:
Cách 1. Vẽ trung điểm của đoạn thẳng bằng Compa
Giả sử em cần vẽ trung điểm M của đoạn thẳng AB thì em làm lần lượt các bước sau:
Bước 1. Dựng đường tròn có tâm MỘT bán kính AB
Bước 2. Dựng đường tròn có tâm DI DỜI bán kính BỐ
Bước 3. Xây dựng nút giao thông CŨ Và DỄ của hai đường tròn cắt nhau.
Bước 4. Dựng đoạn thẳng CD
Bước 5. Xây dựng nút giao thông Hoa Kỳ của các đường thẳng CD và AB
Điểm Hoa Kỳ vừa vẽ là trung điểm của đoạn thẳng AB
Nhận xét về cách vẽ:
– Không cần dựng hai đường tròn có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng.
– Bán kính của hai đường tròn phải lớn hơn 1/2 độ dài của đoạn thẳng.
– Có thể dựng hình tròn (phù hợp) thay cho hình tròn, đỡ nhiễm bẩn giấy.
Chú ý: Bắt buộc hai đường tròn hoặc hai cung tròn phải có cùng bán kính.
Cách 2. Vẽ trung điểm của đoạn thẳng bằng thước thẳng
Giả sử chúng ta cần vẽ trung điểm Hoa Kỳ của đường thẳng AB sau đó bạn làm như sau:
hoạt động
Bước 1. Dùng thước chia độ để đo độ dài đoạn thẳng AB (Giả sử độ dài đoạn thẳng AB đo được là 9cm.
Bước 2. trên tia AB vẽ điểm Hoa Kỳ sao cho độ dài đoạn thẳng LÀ bằng 4,5cm
Mô tả thao tác thực hiện trên giấy:
cho điểm Hoa Kỳ là trung điểm của đoạn thẳng AB nên ta có MA+MB=ABMA=MB
=> MA=MB=AB2=92=4,5cm
trên tia AB người giữ điểm Hoa Kỳ để có thể
sáng = 4,5 cm
Cách 3. Cách gấp giấy
Giả sử chúng ta cần vẽ trung điểm Hoa Kỳ của đường thẳng ABchúng tôi làm như sau:
Bước 1. Vẽ đường thẳng AB trên giấy
Bước 2. Tiến hành gấp tờ giấy sao cho điểm DI DỜI trùng với điểm MỘThoặc ngược lại điểm MỘT trùng với điểm DI DỜI
Bước 3. Nếp gấp đường thẳng AB tại một điểm thì điểm đó là trung điểm Hoa Kỳ cần phải được xác định.
4. Các dạng bài tập về trung điểm của đoạn thẳng:
Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng so với trung điểm.
Phương pháp giải:
Để tính độ dài của một đoạn thẳng ta thường dùng các nhận xét sau:
– Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB
– Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB = AB/2
Ví dụ.
Ví dụ 1. Vẽ đoạn thẳng AM = 7 cm . là điểm nằm giữa A và C, AC cách trung điểm của 3 cm. Tính BM.
Phần thưởng
Ta có C nằm giữa A và B nên AC + BC = AC + BC = AB; 3+ TCN = 7 ; BC = 7 – 3 = 4 (cm)
Vì M là trung điểm của BC nên BM = BC/2 = 4/2 = 2 cm
Dạng 2: Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng, chứng minh liên quan về độ dài.
Phương pháp giải:
Để chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB ta thường làm như sau:
Bước 1: Chứng minh rằng M nằm giữa A và B.
Bước 2: Chứng minh MA = MB
Ví dụ 1. Trên tia Ox vẽ hai điểm A, B sao cho OA = 2cm ; OB = 4cm.
a) Điểm A có nằm giữa hai điểm o và B không?
b) So sánh OA và AB.
c) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Tại sao ?
Phần thưởng
a) Điểm A nằm giữa O và B vì A và B cùng nằm trên tia Ox và OA < OB.
b) Điểm A nằm giữa O và B nên:
OA + AB = OB;
AB = OB – OA = 4 – 2 = 2 (cm)
Vậy: OA = AB.
c) Điểm A là trung điểm của OB vì A nằm giữa O và B và OA = AB.
Ví dụ 2.
Cho hai tia đối nhau Ox, Ox’. Trên tia X vẽ điểm A sao cho OA = 2cm. Trên tia Ox’ vẽ điểm B sao cho
OB = 2cm. O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Tại sao ?
Phần thưởng
Hai tia OA và OB đối nhau nên O nằm giữa A và B. Lại có OA = OB = 2cm nên O là trung điểm của AB.
Dạng 3: Chọn câu trả lời đúng; điền vào chỗ trống
phương pháp giải
Chọn câu có đủ 2 điều kiện của định nghĩa về trung điểm của đoạn thẳng.
Ví dụ 1.
Khi nào thì có thể kết luận điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB? Vui lòng chọn câu trả lời
đúng trong các câu trả lời sau:
a) Cho IA = IB ;
b) Cho AI + IB = AB ;
c) Cho AI + IB = AB và IA = IB ;
d) Cho IA = IB = AB/2 .
Dạy
Câu c), câu d) đều đúng.
ví dụ 2.
Đo các đoạn thẳng AB, BC, CD, CA và điền vào chỗ trống trong các câu sau:
a) Điểm C là trung điểm của … vì …
b) Điểm C không là trung điểm của … vì C không thuộc đoạn thẳng AB.
c) Điểm A không phải là trung điểm của BC vì…
Dạy
a) BD vì C nằm giữa B, D và CB = CD (= 2,5 cm);
b) AB ;
c) A không nằm giữa B và C .
5. Một số bài tập về trung điểm của đoạn thẳng:
Bài 1: Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm độ dài hai đoạn thẳng AM và MB biết AB = 4cm.
Bài 2: Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm độ dài hai đoạn thẳng AC và BC biết AB = 6cm.
bài 3: Gọi O nằm trên đường thẳng xy. Trên tia X lấy điểm M sao cho OM = 4cm. Trên tia Oy lấy điểm N sao cho ON=2cm. Gọi A, B lần lượt là trung điểm của OM và ON.
a) Chứng minh rằng O nằm giữa A và B.
b) Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Bài 4: Cho Ox và Oy là hai tia đối nhau. Trên tia X lấy điểm A sao cho OA = 6cm. Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=3cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB.
a) Trong ba điểm M, O, N, điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Tại sao?
b) Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON và MN.
Bài 5: Trên Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA=2cm, OB=6cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OB.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Chứng tỏ rằng A nằm giữa O và M.
c) Tính độ dài AM.
Bài 6: Trên tia X lấy hai điểm A, B sao cho OA=4cm, OB=6cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OB.
a) Tính độ dài AB.
b) Chứng tỏ M nằm giữa hai điểm O và A.
Bài 7: Gọi O nằm giữa hai điểm A và B. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Tính độ dài MN, biết AB = a
Bài 8: Cho đoạn thẳng AB = 6cm. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho AC=4cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BC.
a) Tính độ dài MC và NC.
b) Chứng minh rằng điểm C nằm giữa hai điểm M và N.
c) Tính độ dài MN.
Bài 9. Trên cùng một đoạn thẳng đặt các đoạn AB = 8cm, BC = 4cm (biết tia BA và BC là hai tia đối nhau). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC, BC.
a) Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng nào? Tại sao?
b) Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng nào? Tại sao?
c) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng MN thì điểm I cũng là trung điểm của đoạn thẳng nào? Tại sao?
Bài 10. Cho ba điểm M, N, O ; Độ dài ba đoạn thẳng là: MN = 5cm, NO = 4cm, MO = 3cm.
a) Điểm O có nằm giữa hai điểm M và N không? Tại sao?
b) Ba điểm M, N, O có thẳng hàng không? Tại sao?
Bài 11. Các điểm A, B, C thẳng hàng. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC. Chứng minh rằng: BC = 2MN.
Bài 12. Cho đoạn thẳng AB = 8 cm. Gọi M là trung điểm của AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm C, D sao cho AC=BD=3cm.
a) Tính độ dài CD.
b) Điểm M có phải là trung điểm của CD không và tại sao?
Bài 13. Cho đoạn thẳng AB = 6cm. M là trung điểm của đoạn AB, N là điểm nằm giữa A và M sao cho AN=1cm. Tính độ dài đoạn MN.
Bài 14.. Trên tia X lấy hai điểm A, B sao cho OA=3cm, OB=6cm
a) Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B hay không.
b) So sánh OA và OB.
c) Điểm A có phải là trung điểm của OB không? Tại sao?
Bài 15. Trên tia X lấy hai điểm M, N sao cho OM=6cm, ON=10cm. Gọi I, K là trung điểm của ON và MN. Tính độ dài đoạn IK.
