Phương trình vi phân là một phần kiến thức quan trọng trong toán học và thực tiễn. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp cho các bạn những thông tin cơ bản về phương trình vi phân mà chúng tôi tìm hiểu và sưu tầm.
1. Vi sai là gì?
Hiệu số là một thuật ngữ toán học (tiếng Anh: Difference), có nghĩa là sự khác biệt về giá trị hàm tại hai điểm gần nhau.
Ký hiệu: UN= Un+1 – bạnN.
Lỗi phân cấp m của hàm UN Là sự khác biệt của m-1 sự khác biệt thứ bậc của chức năng đó:
ΔtôibạnN = (Δm-1bạnN)=m-1 bạnn + 1 –m-1 bỏ
Ví dụ: lỗi thứ tự thứ hai được tính:
Δ2bạnN= (ΔU .)N)=ΔUn+1 – bạnN = (Bạnn+2 – bạnn+1)-(Un +1 – bạnN)
= UN+2 -2Un+1 + UN
Tương tự như vậy chúng ta có thể biểu thịtôibạnN qua UNbạnn+1…,Un+m
Bên cạnh đó:
– Hiệu lũy tiến của f(x) là f(x+1)-f(x)
– Hiệu lùi của f(x) là f(x)-f(x-1)
2. Phương trình vi phân là gì?
Phương trình sai phân là phương trình trong đó giá trị hiện tại của biến phụ thuộc được biểu thị dưới dạng một hàm của giá trị trước đó của chính nó. Phương trình sai phân bậc n là phương trình trong đó độ trễ dài nhất của biến phụ thuộc bằng n chu kỳ. Ví dụ, phương trình sai phân thứ hai có dạng:
Xt = a + bXt-1 + cXt-2
trong đó t là khoảng thời gian thứ t
Phương trình vi phân còn có thể hiểu là: phương trình có hàm cần tìm là hàm đối số rời rạc f(n) = UN hiện như là một sự khác biệt của các cấp độ.
Sai số phân cấp PT m có dạng tổng quát:
G(n,UN,ΔUN,Δ2bạnN…,ΔtôibạnN) = 0
Trong thực tế có vô số hiện tượng khoa học kỹ thuật mà hiểu và phân tích được nó có thể dẫn đến bài toán giải phương trình vi phân. Phương trình vi phân còn là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán về vi phân, đạo hàm, phương trình đại số cấp cao. Nguồn gốc của phương trình vi phân bắt nguồn từ việc xác định mối quan hệ được thiết lập bởi một đại lượng biến thiên liên tục ở một phía (được biểu diễn bởi một hàm, giả sử f(x)) với sự biến thiên của đại lượng đó ở phía bên kia.
Khác với các hàm thông thường có nghiệm là một giá trị số (số thực, số phức, v.v.), phương trình vi phân có mục tiêu tìm công thức của một hàm chưa biết thỏa mãn hệ thức đã cho. Thông thường, nó sẽ là một họ các phương trình, bị sai lệch bởi bất kỳ hằng số C nào. Hàm này sẽ được xác định chính xác khi thêm điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên.
Tuy nhiên trong thực tế ta rất khó tìm được công thức của hàm nghiệm. Khi đó, người ta chỉ quan tâm đến giá trị của hàm tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập với giá trị mà thực tiễn mang lại. Các phương pháp để tìm ra giá trị chính xác của một hàm được gọi là phân tích định lượng. Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng xác định được các giá trị thực, khi đó người ta quan tâm đến các giá trị gần đúng (có độ chính xác nhất định) với giá trị thực. Với sự trợ giúp của máy tính, việc tìm kiếm các giá trị này thường được thực hiện bằng phương pháp phân số. Phương trình sai phân được phân thành nhiều loại, trong mỗi loại phương trình sai phân được chia thành hai loại phương trình sai phân tuyến tính và phương trình vi phân phi tuyến tính.
3. Hướng nghiên cứu phương trình vi phân:
Phương trình sai phân được nghiên cứu rộng rãi trong toán học thuần túy và ứng dụng, vật lý và các ngành kỹ thuật khác. Trong đó:
Toán học thuần túy tập trung vào việc tìm sự tồn tại và tính duy nhất của hàm nghiệm.
– Toán ứng dụng tập trung vào các phương pháp xấp xỉ hàm nghiệm.
Trong các ngành khác, phương trình vi phân được sử dụng trong mô hình hóa các quá trình vật lý, sinh học và kỹ thuật. Ta có ví dụ sau: tương tác giữa các nguyên tử trong phân tử, hay giữa các nơron. Khi được áp dụng trong các ứng dụng thực tế, thay vì tìm dạng đóng của các hàm căn, chúng có thể được xấp xỉ bằng các phương pháp số.
Các nhà toán học cũng nghiên cứu các phương pháp giải yếu (tiếng Anh là essential solution) dựa trên các đạo hàm yếu (tiếng Anh là ‘weak Derivative’). Việc nghiên cứu tính ổn định của hàm nghiệm của phương trình vi phân là một trong những nội dung của lý thuyết ổn định.
4. Ứng dụng của phương trình vi phân:
Phương trình vi phân được ứng dụng rộng rãi trong toán học và thực tế, cụ thể như sau:
Trong việc giải quyết vấn đề (toán học thuần túy):
– Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: Việc xây dựng nghiệm tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đã định hướng phương pháp giải các bài toán: giải phương trình hàm, giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
– Chuyển đổi số lượng trung bình
– Tìm giới hạn của dãy số: Các bài toán tìm giới hạn trình bày ở dạng này liên quan đến việc tìm dãy số là nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình vi phân cho trước.
– Giải các bài toán số học: Với yêu cầu xác định các cấp số cộng liên quan đến dãy số đó như số chia, số nguyên tố, bình phương, lập phương,… Việc giải các bài toán như thế này có thể dẫn đến việc giải các phương trình vi phân tuyến tính hoặc phi tuyến tính.
– Giải các bài toán về phương trình hàm:
– Giải các bài toán về tích phân: Bằng cách sử dụng phương pháp truy hồi trong các bài tập giải tích ta có thể giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp một và cấp hai. Ngoài ra, cũng có thể dùng phương pháp chọn để giải.
Trong thực tế (toán ứng dụng):
Trong các ứng dụng của Toán học ứng dụng vào đời sống xã hội thì ứng dụng của phương trình vi phân là một nội dung quan trọng, hấp dẫn, phong phú và hơi phức tạp. Vì vậy, lĩnh vực ứng dụng này từ lâu đã thu hút các nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu, tuy nhiên, vẫn còn rất nhiều ẩn số cần chúng ta khám phá và tìm hiểu. Phương trình vi phân có nhiều ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực và ngành nghề như y học, kinh tế, vật lý, kỹ thuật và khoa học. Đặc biệt, khi các mô hình kinh tế được thiết lập dưới dạng các mô hình toán học cụ thể thì việc vận dụng toán học để phân tích các mô hình kinh tế luôn là vấn đề cấp thiết đối với các nhà quản lý. Như đã đề cập ở trên, phương trình vi phân là một lĩnh vực toán học và vì giá trị của nó, chúng ta có thể tìm thấy nhiều ứng dụng của nó trong nền kinh tế thị trường.
Tóm lại, toán học đã được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực như y học, sinh học, tự động hóa, công nghệ truyền thông, mô hình kinh tế,… Và phương trình vi phân là một trong những ứng dụng thú vị và quan trọng nhất của toán học trong đời sống.
5. Một số câu hỏi liên quan:
Dạng 1: Tìm uNthỏa mãn điều kiện:
u₁ = α, aun+1+buN = 0, a, b, cho trước, n ∈ N*.
Phương pháp giải: Giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 để tìm ). Khi đó un = qλN (g là hằng số), trong đó q xác định khi biết u1 = α.
Ví dụ: Xác định số hạng chung của cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 1 và bội bằng 2.
Giải pháp:
Ta có: Un+1 = 2 bạnNu₁=1.
Phương trình đặc trưng có nghiệm = 2. Vậy uN = c2N.
Từ bạnĐầu tiên = 1 suy ra c = 1/2. Do đó UN = 2n-1
Mẫu 2:
Là một phương trình có dạng:
Anh.Un+k + mộtk-1.Un+k-1+ … + một0.UN = 0 (1)
Trong đó a0, a1, …, ak là các số thực.
Ta tìm nghiệm riêng ở dạng UN=Nthay vào (6) ta có phương trình đặc trưng:
Mộtk.λk+ mộtk-1.λk-1+ … + một0.λ = 0 (7)
Trường hợp 1: Nếu (7) có k nghiệm thực phân biệt λ1, λ2,… λk thì ta có k giá trị riêng độc lập tuyến tính xĐầu tiênN=Đầu tiênN… xkN =kN. Giải pháp chung: Un= CĐầu tiên. λĐầu tiênN+ CŨ2. λ2N+ … + CŨk. λkN
Trường hợp 2: Nếu (7) có vô số nghiệm chẳng hạnĐầu tiên có vô số nghiệm thực phân biệt s và ks:Đầu tiên=2= … =Schúng tôi thay thế s eigenvector xĐầu tiênNx2N…, xSN tương ứng với: xĐầu tiênN=Đầu tiênNx2N= nλĐầu tiênN… , Giải pháp chung:
không = (CĐầu tiên+nC2+ … + ns-1CŨS)λĐầu tiênN + CŨs+1λĐầu tiênN+…+ CŨk. λkN
Trường hợp 3: Nếu phương trình (7) có nghiệm phức chẳng hạnĐầu tiên = r(cosα + i.sinα) thì sẽ có nghiệm phức liên hợp2 = r(cosα–i.sinα) và k-2 nghiệm thực phân biệt thì ta thay x . tương ứngĐầu tiênN= r n. cosnα và x2N = r n.sinnα trong nghiệm tổng quát. Giải pháp chung: Un= rn[C1. cosnα + C2. sinnα] +C3. λ3N… + CŨk. λkN
