Trong đại số, một phương trình bậc ba có một biến là một biểu thức có dạng
trong đó a khác 0.
Lời giải của phương trình có thể được định nghĩa là những không điểm của hàm số bậc ba được xác định bằng vế trái của phương trình. Nếu tổng các hệ số a, b, c và d của phương trình là số nguyên, thì nó có ít nhất 1 không điểm (điều này đúng với mọi phương trình bậc nhất). Tất cả những không điểm của phương trình bậc ba có thể được tìm thấy theo các phương pháp sau: Phương pháp đại số, tức là chúng phải được thể hiện thông qua một công thức bậc ba đề cập đến bốn hệ số hoặc bốn phép tính số học cơ bản và căn bậc hai hoặc căn bậc ba. Phương pháp đại số, tức là phép gần đúng với số nguyên của các giá trị căn phải được tìm ra bằng cách áp dụng các thuật toán tìm nghiệm theo phương pháp của Newton.
Các hệ số không cần thiết phải là số nguyên. Các nghiệm của phương trình bậc ba không nhất thiết phải là cùng hàng với hệ số. Ví dụ, một số phương trình bậc ba với hệ số hữu hạn có nghiệm là số thực (hay thậm chí là số nguyên). Phương trình bậc 3 có thể có tối đa 3 nghiệm phân biệt. Tuy nhiên, không phải bao giờ phương trình bậc 3 cũng có đủ 3 nghiệm phân biệt. Điều này phụ thuộc vào tính chất của phương trình và các hệ số của phương trình. Khi các hệ số của phương trình được xác định, ta có thể dùng các công thức và phương pháp sau để tính số lượng và giá trị của nghiệm.
Để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt thì ta cần viết phương trình f (x) = 0, trong đó f (x) là hàm số bậc 3. Bước 1: Viết hàm số bậc 3 dưới dạng f (x) = x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c.
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số f (x) theo x và viết phương trình f ‘ (x) = 0 để tìm các điểm cực trị.
Bước 3: Kiểm tra hàm số f (x) có hai điểm cực trị hay không. Nếu không có hoặc có một điểm cực trị, thì phương trình bậc 3 sẽ không có ba nghiệm phân biệt.
Bước 4: Tìm giá trị của f (x) tại mỗi điểm cực trị đã tìm được.
Bước 5: Kiểm tra giá trị của f (x) tại mỗi khoảng giá trị giữa các điểm cực trị. Nếu có tối thiểu một khoảng giá trị mà f (x) <0, thì phương trình bậc 3 sẽ có ba nghiệm phân biệt.
Bước 6: Tìm giá trị của tham số m tại mỗi điểm cực trị và khoảng giá trị thoả mãn những điều kiện đã tìm thấy ở các bước trên.
Ví dụ:
Tìm giá trị của m để phương trình y = x^3 + 3mx^2 + 3x^2 + 9m – 1 có 3 nghiệm phân biệt.
Bước 1: Hàm số bậc 3 được viết dưới dạng f(x) = x^3 + (3m+3)x^2 + (9m-1).
Bước 2: Tính đạo hàm của f(x), ta được f'(x) = 3x^2 + 6mx + 6x. Giải phương trình f'(x) = 0 ta được x = 0 hoặc x = -2m ± √(4m^2 – 3).
Bước 3: Ta có hai điểm cực trị x = 0 và x = -2m ± √(4m^2 – 3).
Bước 4: Tính giá trị của f(x) tại các điểm cực trị:
f(0) = 9m – 1
f(-2m + √(4m^2 – 3)) = (4m – √(4m^2 – 3))^3 + (3m + 3)(4m – √(4m^2 – 3))^2 + 9m – 1
f(-2m – √(4m^2 – 3)) = (4m + √(4m^2 – 3))^3 + (3m + 3)(4m + √(4m^2 – 3))^2 + 9m – 1
Bước 5: Kiểm tra dấu của f(x) tại các khoảng giá trị giữa các điểm cực trị.
– Tại khoảng giá trị (-∞, -2m – √(4m^2 – 3)), f(x) < 0 khi m > 1/2.
– Tại khoảng giá trị (-2m – √(4m^2 – 3), -2m + √(4m^2 – 3)), f(x) > 0 khi m > 1/2.
– Tại khoảng giá trị (-2m + √(4m^2 – 3), 0), f(x) < 0 khi m > 1/2.
– Tại khoảng giá trị (0, +∞), f(x) > 0 khi m > 1/2.
Bước 6: Tìm giá trị của tham số m tại mỗi điểm cực đại và khoảng giá trị thoả mãn các điều kiện đã tìm được ở các bước trên. Ta tìm được m> 1/2. Vậy tổng giá trị của m để phương trình bậc 3 có ba nghiệm phân biệt là m> 1/2.
Việc tìm giá trị của tham số m là cần thiết để đảm bảo phương trình có nghiệm phân biệt bởi vì khi có giá trị của m thì ta có thể suy ra được những đặc trưng của đồ thị của phương trình và qua đó tìm được những điểm cắt trục Ox của hàm số. Cụ thể, nếu ta biết phương trình có bao nhiêu nghiệm và giá trị của mỗi nghiệm tương ứng thì ta có thể đánh giá được sự biến thiên của đồ thị và tìm được những điểm cực đại của hàm số và qua đó giải quyết những vấn đề liên quan đến tìm đồ thị và tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số. Do đó, việc tìm giá trị của tham số m là quan trọng để giải những vấn đề liên quan đến phương trình bậc 3.
3. Phương trình bậc 3 có bao nhiêu nghiệm phụ thuộc vào những yếu tố nào?
Phương trình bậc 3 có thể có từ 1 đến 3 nghiệm tuỳ thuộc vào tính chất và các điều kiện khác nhau của phương trình. Để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt thì ta có thể thực hiện những thao tác sau:
1. Viết phương trình bậc 3 dưới dạng tổng quát: ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0
2. Sử dụng công thức tính delta để tìm giá trị delta = b ^ 2 – 3ac
3. Nếu delta> 0 thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.
4. Để chứng minh phương trình có 3 nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện a, b, c và d tương ứng như sau: – a khác 0 – delta> 0 – a ^ 2 b ^ 2 c ^ 2 – 4 a ^ 3 c ^ 3 – 4 b ^ 3 a ^ 3 d + 18 a ^ 2 bcd – 27 d ^ 2 a ^ 4 <0 Với công thức trên, ta có thể tìm tất cả các giá trị của a, b, c và d để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
4. Tính toán và xác định các nghiệm của phương trình bậc 3?
Để tính và xác định số nghiệm của phương trình bậc 3, chúng ta có thể làm như sau:
– Bước 1: Viết phương trình bậc 3 theo dạng chung ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0.
– Bước 2: Tính delta bằng cách dùng công thức delta = b ^ 2 – 4ac.
– Bước 3: Nếu delta <0, phương trình sẽ có một nghiệm thực và hai nghiệm ảo. Nếu delta> 0, phương trình sẽ có ba nghiệm thực phân biệt. Bước 4: Để xác định các nghiệm của phương trình ta có thể áp dụng các phương pháp như dùng định lý Viète, dùng đồ thị hàm số hoặc dùng cách khác tuỳ từng trường hợp cụ thể. Ví dụ: Giả sử có phương trình x ^ 3 – 3 x ^ 2 + 2x + 4 = 0. Ta có a = 1, b = -3, c = 2 và d = 4. Bước 2: Tính delta bằng cách dùng công thức delta = b ^ 2 – 4ac = (-3) ^ 2 – 4 (1) (2) = 1.
– Bước 3: Vì delta > 0, phương trình sẽ có ba nghiệm thực phân biệt.
– Bước 4: Dùng định lý Vi ét , ta có phương trình : x1 + x2 + x3 = 3, x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = 2 và x1.x2.x3 = -4. Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là x1 = 2, x2 = 1 và x3 = -1.
Vì vậy, phương trình x^3 – 3x^2 + 2x + 4 = 0 có ba nghiệm là 2, 1 và -1.
5. Một số bài tập vận dụng:
* Bài số 1: Phương trình 
có 3 nghiệm phân biệt với m: A. 
.
B. 
.
C.
.
.Chọn: Đáp án C
Lời giải:
YCBT
có ba nghiệm phân biệt có đường 
cắt đồ thị hàm số 
tại ba điểm phân biệt . Xét hàm số 
có 
Lập bảng biến thiên của f(x), ta được 
* Bài tập 2: Giải phương trình bậc 3 sau: 2x3 = -128
* Lời giải:
– Ta có: 
Vậy x = -4 là nghiệm của phương trình.
* Bài tập 3: Giải phương trình bậc 3 sau: 2×3 + 5×2 – x – 6 = 0.
* Lời giải:
– Dễ dàng nhận thấy các hệ số của phương trình bậc 3 là:
a + b + c + d = 2 + 5 – 1 – 6 = 0 nên có thể nhẩm được phương trình bậc 3 này có 1 nghiệm x = 1.
Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (2×3 + 5×2 – x – 6) chia cho
(x – 1). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:
Vậy 2x3 + 5x2 – x – 6 = (x – 1)(2×2 + 7x + 6)
Khi đó: 2×3 + 5×2 – x – 6 = 0
⇔ (x – 1)(2×2 + 7x + 6) = 0
⇔ (x – 1)= 0 hoặc (2×2 + 7x + 6) = 0
Xét phương trình: x – 1 = 0 ⇔ x = 1
Xét phương trình: 2×2 + 7x + 6 = 0 có ∆ = 72 – 4.2.6 = 1 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm:
x1 = (-7 + 1)/4 = -3/2;
x2 = (-7 – 1)/4 = -2
Vây phương trình có 3 nghiệm là: x = 1; x = -2; x = -3/2;
Tập nghiệm của phương trình S={-2;-3/2;1}.
* Bài tập 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc 3 sau: 3×3 – 2×2 – 5x + 4 = 0 biết x = 1 là một nghiệm của phương trình.
* Lời giải:
Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (3×3 – 2×2 – 5x + 4) chia cho (x – 1). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:
Vậy 3x3 – 2x2 – 5x + 4 = (x – 1).(3x2 – 2x – 5)
Khi đó: x3 – 2x2 – 5x + 4 = 0
⇔ (x – 1).(3x2 – 2x – 5) = 0
⇔ x – 1 = 0 hoặc 3x2 – 2x – 5 = 0
Xét phương trình: x – 1 = 0 ⇔ x = 1
Xét phương trình: 3x2 – 2x – 5 = 0 có ∆ = (-2)2 – 4.3.(-5)= 64 nên phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1 và x2 = 5/3.
(có thể thấy ngay phương trình: 3x2 – 2x – 5 = 0 có các hệ số a – b + c = 0 nên có 1 nghiệm x = -1 và nghiệm còn lại x = -c/a = 5/3)
Vây phương trình có 3 nghiệm: x = 1; x = -1; x = 5/3.
* Bài tập 5: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có đúng 2 nghiệm phân biệt:
(x – 2)(x2 + mx + m2 – 3) = 0 (*)
* Lời giải:
– Phương trình (*)⇔
Phương trình (1) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình (*) có đúng 2 nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2.
+) TH1: phương trình (2) có nghiệm kép khác 2
⇔ Phương trình (2) có: ∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của (2)
+) TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2
Thay x = 2 vào phương trình (2) ta được:
m2 + 2m + 1 = 0
⇔ (m + 1)2 = 0
⇔ m = -1
Với m = -1 thì phương trình (2) trở thành: x2 – x – 2 = 0
Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm: x1 = -1, x2 = -c/a = 2
Suy ra m = -1 (thỏa mãn)
Vậy m = -1, m = 2, m = -2 thì phương trình (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
