Định lý Pytago là một công thức liên quan đến độ dài ba cạnh của một tam giác vuông, đây là kiến thức toán học gây khó khăn rất nhiều cho học sinh ở bậc trung học. Chính vì vậy, Bài viết dưới đây sẽ cung cấp cho bạn đọc các kiến thức về Định lý.
1. Định lý Pytago là gì?
Một tam giác vuông bao gồm hai cạnh được gọi là hai cạnh góc vuông và một cạnh còn lại được gọi là cạnh huyền. Cạnh huyền là cạnh dài nhất và đối diện với góc vuông.
Nếu chúng ta lấy độ dài của cạnh huyền là c và độ dài của các cạnh là a và b thì định lý này cho chúng ta biết rằng:
C2 = a2 + b2
Định lý Pytago phát biểu rằng: Trong bất kỳ tam giác vuông nào, tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông bằng bình phương độ dài cạnh huyền.
Lưu ý: Định lý Pitago chỉ đúng với tam giác vuông. Nhắc lại tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90 độ. Hai góc còn lại cũng phải có tổng bằng 90 độ, vì tổng số đo các góc của bất kỳ tam giác nào cũng bằng 180 độ.
Định lý Pytago có thể được sử dụng khi chúng ta biết độ dài hai cạnh của một tam giác vuông và chúng ta cần lấy độ dài của cạnh thứ ba.
Định lý được cho là của nhà triết học và toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras, sống ở thế kỷ thứ sáu trước Công nguyên. Mặc dù trước đây nó đã được người Ấn Độ và người Babylon sử dụng, Pythagoras (hoặc các học trò của ông) được ghi nhận là người đầu tiên chứng minh định lý. Cần lưu ý rằng không có
2. Điều ngược lại của định lý Pytago là gì?
Điều ngược lại của Định lý Pytago cũng đúng.
Đối với bất kỳ tam giác nào có các cạnh a , b và c , nếu a 2 + b 2 = c 2 thì góc giữa a và b đo bằng 90° và tam giác đó là tam giác vuông.
Làm thế nào để sử dụng định lý đảo ngược của định lý Pythagore?
Chúng ta có thể sử dụng định lý Pytago đảo để kiểm tra xem một tam giác đã cho là tam giác nhọn, tam giác vuông hay tam giác tù.
Đối với tam giác có các cạnh a, b , c và c là cạnh dài nhất thì: Nếu c 2 < a 2 + b 2 thì đó là tam giác nhọn, tức là góc đối với cạnh c là góc nhọn.
Nếu c 2 = a 2 + b 2 thì đó là tam giác vuông, tức là góc tạo với cạnh c là góc vuông.
Nếu c 2 > a 2 + b 2 thì đó là tam giác tù, tức là góc đối với cạnh c là góc tù.
3. Chứng minh Công thức Định lý Pytago:
Chứng minh của định lý Pythagoras có thể được suy ra bằng
Ví dụ: chúng ta hãy sử dụng các giá trị a, b và c như trong hình sau và làm theo các bước dưới đây:
Bước 1: Sắp xếp bốn tam giác vuông bằng nhau trong hình vuông PQRS đã cho, có cạnh là a + b. Bốn tam giác vuông có ‘b’ là đáy, ‘a’ là chiều cao và ‘c’ là cạnh huyền.
Bước 2: 4 hình tam giác tạo thành hình vuông bên trong WXYZ như được hiển thị, với ‘c’ là bốn cạnh.
Bước 3: Diện tích của hình vuông WXYZ bằng cách sắp xếp bốn hình tam giác là c 2 .
Bước 4: Diện tích hình vuông PQRS có cạnh (a + b) = Diện tích 4 hình tam giác + Diện tích hình vuông WXYZ có cạnh ‘c’. Điều này có nghĩa là (a + b) 2 = [4 × 1/2 × (a × b)] + c 2 . Điều này dẫn đến a 2 + b 2 + 2ab = 2ab + c 2 . Do đó, a 2 + b 2 = c 2 . Do đó chứng minh.
Chứng minh Công thức Định lý Pytago sử dụng Tam giác Đồng dạng
Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu các góc tương ứng của chúng có số đo bằng nhau và các cạnh tương ứng của chúng có cùng tỉ số. Ngoài ra, nếu các góc có cùng số đo, thì bằng cách sử dụng định luật sin, chúng ta có thể nói rằng các cạnh tương ứng cũng sẽ có cùng tỷ lệ. Do đó, các góc tương ứng trong các tam giác đồng dạng dẫn chúng ta đến các tỷ lệ độ dài các cạnh bằng nhau.
4. Một số bài tập vận dụng:
Cách sử dụng định lý Pytago:
– Nhập hai độ dài mà bạn có vào công thức. Ví dụ: giả sử bạn biết a = 4, b = 8, và muốn tìm độ dài của cạnh huyền c.
– Sau khi các giá trị được đưa vào công thức, chúng ta có 4²+ 8² = c².
– Bình phương mỗi số hạng để được 16 + 64 = c².
– Kết hợp các điều khoản như để có được 80 = c².
– Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình để có được c = 8.94.
Ví dụ 1:
Tìm độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông biết độ dài hai cạnh góc vuông là 3 cm và 4 cm
Cách giải:
Bước 1: Viết công thức
c 2 = a 2 + b 2
Bước 2: Thay các giá trị
c 2 = 3 2 + 4 2
c 2 = 9 + 16
c 2 = 25
c = √25
c = 5
Trả lời: Độ dài của cạnh huyền là 5 cm
Ví dụ 2:
Tìm độ dài một cạnh của tam giác vuông nếu độ dài cạnh huyền là 10 cm và độ dài cạnh kia là 9 cm
Cách giải:
Bước 1: Viết công thức
c 2 = a 2 + b 2
Bước 2: Thay các giá trị
10 2 = 9 2 + b 2
100 = 81 + b 2
Bước 3: Trừ 81 cho cả hai vế
19 = b 2
b = √19
b ≈ 4,36
Trả lời: Chiều dài của cạnh là 4,36 cm
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Claire muốn treo một biểu ngữ trên bậu cửa sổ tầng hai trong nhà cô ấy. Cô ấy cần tìm một cái thang mà khi dựa vào bức tường bên ngoài của ngôi nhà cô ấy sẽ đủ dài để lên tới cửa sổ tầng hai. Nếu cửa sổ cách mặt đất 16 m và Claire đặt chân thang cách tường 12 m, thì thang cần dài bao nhiêu?
Bài 2: Trong một trận đấu bóng chày, vận động viên ném bóng thứ hai lấy bóng và ném nó cho người bắt bóng để ngăn cản vận động viên chạy trước khi anh ta về đến nhà. Nếu khoảng cách giữa mỗi đế là 90 m, thì người thứ hai đã ném quả bóng bao xa?
Bài 3: Một công viên nước muốn thêm zipline vào một hồ bơi. Nếu bục ở trên cùng của zipline cao 25 m và bể bơi dài 40 m, chiều dài tối đa cần thiết cho zipline là bao nhiêu?
Bài 4: Cần có đường dốc dành cho xe lăn ở lối vào tòa nhà. Chỉ có 10 m không gian dành cho đoạn đường nối. Đoạn đường nối nên dài bao nhiêu?
Bài 5: Một màn hình tivi được quảng cáo là 50 inch. Nếu tivi rộng 35 inch thì nó cao bao nhiêu?
Bài 6: Một con diều ở cuối đường 40 m cách người chạy 10 m. Diều cao bao nhiêu?
Bài 7: Một mái nhà đang được đặt trên một khung cao 9 m và rộng 30 m. Các mảnh chéo của khung dài bao nhiêu?
5. Ứng dụng thực tế của Định lý Pytago:
Định lý Pytago là một phát biểu trong hình học thể hiện mối quan hệ giữa độ dài các cạnh của một tam giác vuông – tam giác có một góc 90 độ. Phương trình tam giác vuông là a 2 + b 2 = c 2 . Khả năng tìm độ dài của một cạnh khi biết độ dài của hai cạnh còn lại làm cho Định lý Pythagore trở thành một kỹ thuật hữu ích để xây dựng và điều hướng.
5.2. Kiến trúc và Xây dựng:
Cho hai đường thẳng, Định lý Pythagore cho phép bạn tính độ dài của đường chéo nối chúng. Ứng dụng này thường được sử dụng trong kiến trúc, chế biến gỗ hoặc các dự án xây dựng vật lý khác. Ví dụ, giả sử bạn đang xây dựng một mái nhà dốc. Nếu bạn biết chiều cao của mái nhà và chiều dài mà mái nhà bao phủ, bạn có thể sử dụng Định lý Pythagore để tìm độ dài đường chéo của mái dốc. Bạn có thể sử dụng thông tin này để cắt các dầm có kích thước phù hợp để đỡ mái nhà hoặc tính toán diện tích mái nhà mà bạn sẽ cần phải lợp.
5.2. Bố trí các góc vuông:
Định lý Pytago cũng được sử dụng trong xây dựng để đảm bảo các tòa nhà là hình vuông. Một tam giác có độ dài các cạnh tương ứng với Định lý Pythagore – chẳng hạn như một tam giác có kích thước 3 cm x 4 cm x 5 cm – sẽ luôn là một tam giác vuông. Khi làm móng, hay xây góc vuông giữa hai bức tường, thợ xây dựng sẽ giăng một hình tam giác từ ba sợi dây tương ứng với các độ dài này. Nếu độ dài của sợi dây được đo chính xác, thì góc đối diện với cạnh huyền của tam giác sẽ là góc vuông, vì vậy những người thợ xây dựng sẽ biết rằng họ đang xây tường hoặc móng của mình theo đúng đường thẳng.
5.3. Dẫn đường:
Định lý Pytago rất hữu ích cho việc điều hướng hai chiều. Bạn có thể sử dụng nó và hai độ dài để tìm khoảng cách ngắn nhất. Ví dụ, nếu bạn đang ở trên biển và điều hướng đến một điểm cách 300 dặm về phía bắc và 400 dặm về phía tây, bạn có thể sử dụng định lý để tìm khoảng cách từ tàu của bạn đến điểm đó và tính xem bạn sẽ bao nhiêu độ về phía tây so với bắc, cần phải làm theo để đạt đến điểm đó. Khoảng cách về phía bắc và phía tây sẽ là hai chân của tam giác và đường ngắn nhất nối chúng sẽ là đường chéo. Các nguyên tắc tương tự có thể được sử dụng cho điều hướng hàng không. Chẳng hạn, một chiếc máy bay có thể sử dụng độ cao so với mặt đất và khoảng cách từ sân bay đích để tìm vị trí chính xác để bắt đầu hạ độ cao xuống sân bay đó.
5.4. Khảo sát:
Khảo sát là quá trình người vẽ bản đồ tính toán khoảng cách và độ cao bằng số giữa các điểm khác nhau trước khi tạo bản đồ. Do địa hình thường không bằng phẳng nên các nhà khảo sát phải tìm cách đo khoảng cách một cách có hệ thống. Định lý Pytago được sử dụng để tính toán độ dốc của sườn đồi hoặc núi. Một nhà khảo sát nhìn qua kính viễn vọng về phía một thước đo cách đó một khoảng cố định sao cho đường ngắm của kính thiên văn và thước đo tạo thành một góc vuông. Vì người khảo sát biết cả chiều cao của que đo và khoảng cách nằm ngang của que tính từ kính viễn vọng, nên anh ta có thể sử dụng định lý để tìm độ dài của con dốc bao phủ khoảng cách đó và từ độ dài đó, xác định độ dốc của nó.
