Khi ngồi trên ghế nhà trường hay trong cuộc sống thường nhật, chúng ta nghe nói và cũng được tiếp xúc, quan sát nhiêu với khối đa diện. Vậy khối đa diện là gì? Khối đa diện có những loại nào? Làm cách nào để xác định khối đa diện một cách chính xác?
1. Hình đa diện là gì?
Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai tính chất sau đây:
– Hai đa giác khác nhau có thể có hoặc không có điểm chung hoặc chỉ có một đỉnh chung hoặc chỉ có một cạnh.
– Mỗi cạnh của mọi đa giác đều là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Ví dụ như: Các hình đa diện thường gặp là: Hình chóp, hình lăng trụ, hình chóp cụt, hình lập phương, hình hộp chữ nhật,.
2. Khối đa diện là gì?
Trong hình học không gian, khối đa diện là một phần của không gian được giới hạn bởi một khối đa diện không loại trừ khối đa diện đó. Trong đó đa diện là hình được tạo từ các đa giác thỏa mãn điều kiện sau:
Thứ nhất: Các đa giác phân biệt không giao nhau hoặc chỉ có một đỉnh chung hoặc chỉ có một cạnh chung.
Thứ hai: cạnh của mọi đa giác đều là cạnh chung của hai đa giác.
Có thể kể tên một số khối đa diện thường gặp như: hình chóp tam giác, hình chóp vuông, hình chóp lập phương, khối hộp, lăng trụ tam giác…
3. Đặc điểm, tính chất của khối đa diện:
Tính chất 1: Cho một khối tứ diện đều, td có:
Đỉnh của một khối tứ diện đều khác là trọng tâm của các mặt
Trung điểm của mọi cạnh là các đỉnh của khối bát diện đều.
Tính chất 2: Cho khối lập phương, tâm các mặt của nó tạo thành 1 khối bát diện đều.
Tính chất 3: Cho khối bát diện đều, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành một khối lập phương.
Tính chất 4: Hai đỉnh của một khối bát diện được gọi là hơi đỉnh đổi diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của bát diện đều. Khi đó:
3 đường chéo giao nhau ở vị trí trung điểm của mỗi đường thẳng.
3 đường chéo vuông góc nhau theo từng đôi.
3 đường chéo có độ dài bằng nhau.
Tính chất 5: Một khối đa diện phải có ít nhất 4 mặt.
Tính chất 6: Hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.
Tính chất 7: Đa diện 7 cạnh không tồn tại.
4. Khối đa diện lồi là gì?
Từ định nghĩa trên ta dễ dàng rút ra được định nghĩa của khối đa diện lồi. Tương tự, một hình khối đa diện lồi là hình khối đa diện đều nếu đường nối với một điểm bất kỳ của khối đa diện luôn thuộc khối đa diện đó.
Ví dụ: hình khối lăng trụ ngũ giác, hình khối tứ diện, hình hộp chữ nhật….
5. Khối đa diện đều là gì?
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi (là khối đa diện chứa hai điểm A và B, đồng thời chứa tất cả các điểm thuộc đoạn AB) có hai tính chất sau:
‐ Mỗi mặt là đa giác có n cạnh (n giác đều)
‐ Mỗi đỉnh có đúng một đỉnh chung từ p mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {n, p}. Chứng tỏ chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đây là các loại {3;3}, {4;3}, {3;4}, {5;3} và {3;5}.
Số cạnh Số đỉnh Số mặt của 5 loại đa diện đều giống nhau.
Khối đa diện đều loại {n,p} có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt thì ta luôn có các đẳng thức:
Đ+M-C=2 và
pĐ=2C=nM
Dưới đây là bảng tóm tắt các khối đa diện đều:
| Khối đa diện đều | Số đỉnh | Số cạnh | Số mặt | Ký hiệu {p,q} | Số MPĐX |
| Tứ diện đều | 4 | 6 | 4 | {3,3} | 6 |
| Khối lập phương | 8 | 12 | 6 | {4,3} | 9 |
| Khối 8 mặt đều | 6 | 12 | 8 | {3,4} | 9 |
| Khối 12 mặt đều | 20 | 30 | 12 | {5,3} | 15 |
| Khối 20 mặt đều | 12 | 30 | 20 | {3,5} | 15 |
6. Nguồn gốc của khối đa diện:
Tiền sử
Các khối đa diện xuất hiện trong các dạng kiến trúc ban đầu như hình khối và hình thoi, và các kim tự tháp bốn mặt sớm nhất của Ai Cập cổ đại cũng có từ thời kỳ đồ đá.
Người Etruscan đã vượt qua người Hy Lạp ít nhất ở một số khía cạnh về các khối đa diện đều,
Nền văn minh Hy Lạp
Các ghi chép bằng văn bản sớm nhất về các hình dạng này đến từ các nhà văn Hy Lạp cổ điển, những người cũng đưa ra mô tả toán học đầu tiên được biết đến về chúng. Những người Hy Lạp ban đầu chủ yếu quan tâm đến khối đa diện lồi đều được gọi là chất rắn Platon. Pythagoras biết ít nhất ba trong số chúng, và Theaetetus (khoảng năm 17 TCN) đã mô tả cả năm. Euclid sau đó đã mô tả cấu trúc của chúng trong cuốn sách Các nguyên tố của ông. Archimedes sau đó mở rộng nghiên cứu của mình sang khối đa diện lồi ngày nay mang tên ông. Tác phẩm gốc của ông ấy đã bị mất và tri thức về khối đa diện của ông ấy đến với chúng ta thông qua Pappus.
Trung Quốc
Xúc xắc hình khối ở Trung Quốc có từ năm 600 trước Công nguyên. Vào năm 236 sau Công nguyên, Liu Hui đã mô tả sự phân tách của khối lập phương thành các khối tứ diện đặc trưng (hoá học trực giao) và các chất rắn liên kết, sử dụng các dãy chất rắn này để tính toán khối lượng chuyển động của Trái đất trong quá trình khai quật kỹ thuật.
Nền văn minh Hồi giáo
Sau khi kết thúc thời kỳ cổ điển, các học giả của nền văn minh Hồi giáo tiếp tục nâng cao kiến thức Hy Lạp.
Học giả thế kỷ thứ 8 Thhābit ibn Qurra đã đưa ra các công thức tính thể tích của các khối đa diện (chẳng hạn như các kim tự tháp cụt).
Sau đó vào thế kỷ thứ 10, Abu al-Wafa’ đã mô tả khối đa diện hình cầu lồi và bán nguyệt của Buzjani.
Thời kỳ Phục hưng
Giống như các lĩnh vực khác của tư tưởng Hy Lạp đã được bảo tồn và củng cố bởi các học giả Hồi giáo, mối quan tâm của phương Tây đối với thuyết đa thần đã hồi sinh trong thời kỳ Phục hưng của Ý. Các nghệ sĩ đã xây dựng các khối đa diện bằng xương, trình bày chúng như một phần của nghiên cứu về cuộc sống từ góc nhìn của họ. Một số xuất hiện trên các viên đá cẩm thạch từ thời kỳ này. Piero della Francesca đã cung cấp mô tả bằng văn bản đầu tiên về cấu trúc hình học trực tiếp của các phép chiếu phối cảnh nhiều mặt như vậy. Leonardo da Vinci đã tạo ra các mô hình xương đa diện và vẽ hình minh họa cho cuốn sách của Luca Pacioli. Bức tranh của họa sĩ vô danh Pacioli và một sinh viên mô tả một hình thoi bằng thủy tinh chứa một nửa nước.
Khi thời kỳ Phục hưng lan rộng ra ngoài nước Ý, các nghệ sĩ sau này như Wenzel Jamnitzer, Albrecht Dürer và những người khác cũng mô tả nhiều loại khối đa diện khác nhau bằng các hình chạm khắc bằng các bản giàu trí tưởng tượng khác nhau.
Hình đa diện hình sao
Trong gần 2.000 năm, các nhà toán học Hy Lạp cổ đại tiếp tục phát triển khái niệm về một khối đa diện như một vật rắn lồi. Trong thời kỳ Phục hưng, các dạng sao đã được phát hiện. Tarsia bằng đá cẩm thạch trên sàn của Vương cung thánh đường St. Mark ở Venice có các khối đá hai mặt. Các nghệ sĩ như Wenzel Jamnitzer rất thích trình bày các hình dạng giống như ngôi sao mới với độ phức tạp ngày càng tăng.
Johannes Kepler (1571–1630) đã sử dụng các đa giác sao, thường là các ngôi sao năm cánh, để xây dựng các khối đa diện sao. Một số hình này có thể đã được phát hiện trước thời của Kepler, nhưng ông là người đầu tiên nhận ra rằng chúng có thể được coi là “thông thường” nếu hạn chế khối đa diện đều phải lồi. Louis Poinsot sau đó nhận ra rằng các điểm sao (các vòng tròn quanh mỗi góc) cũng có thể được sử dụng và phát hiện ra hai hình đa diện sao đều đặn còn lại. Cauchy chỉ ra rằng danh sách của Poinsot đã đầy đủ, và Cayley đã đặt cho chúng những cái tên tiếng Anh được chấp nhận: khối mười hai mặt được mạ nhỏ và khối mười hai được mạ vàng lớn (Kepler’s), và (của Poinsot)icosahedron lớn và khối dodecahedron lớn. Chúng được gọi chung là khối đa diện Kepler–Poinsot.
Khối đa diện Kepler-Poinsot có thể được cấu tạo từ chất rắn Platon bằng một quá trình gọi là sự hình thành sao. Hầu hết các bản sao là rất hiếm. Năm 1938, HSM Coxeter và những người khác đã nâng cao nghiên cứu về các mẫu trong chất rắn platon với bài báo nổi tiếng hiện nay “The Fifty-Nine Icosahedra (Năm mươi chín Icosahedra)”.
Quá trình tương hỗ đối với sự tạo thành được gọi là quá trình ghép mặt. Các khối đa diện hình sao thông thường cũng có thể thu được bằng cách cho các chất rắn platon tiếp xúc. Bridge (1974) đã liệt kê các mặt đơn giản nhất của khối mười hai mặt và sửa đổi chúng để tiết lộ tên khối hai mươi mặt còn thiếu của “The Fifty-Nine Icosahedra”. Từ đó, người ta phát hiện thêm nhiều điều và câu chuyện vẫn chưa kết thúc.
Công thức và cấu trúc liên kết của Euler
Hai phát triển toán học hiện đại khác có tác động sâu sắc đến lý thuyết đa diện. Năm 1750, Leonhard Euler lần đầu tiên nhìn vào các cạnh của khối đa diện, điều này cho phép ông tìm ra công thức khối đa diện của mình cho số đỉnh, số cạnh và số mặt. Điều này báo trước sự ra đời của cấu trúc liên kết, đôi khi được gọi là “hình học tấm cao su” và Henri Poincaré đã phát triển ý tưởng cơ bản vào cuối những năm 1800.
Max Brückner đã tóm tắt công việc về khối đa diện cho đến ngày nay, bao gồm nhiều phát hiện của chính ông, trong cuốn sách “Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte” (Đa giác và Khối đa diện: Lý thuyết và Lịch sử: Lý thuyết và Lịch sử) được
Sự phục hưng của thế kỷ XX
Trong những năm đầu của thế kỷ 20, hình học ít được nghiên cứu hơn. Phân tích của Coxeter về 59 khối icosahedron đã mang những ý tưởng hiện đại từ lý thuyết đồ thị và tổ hợp đến nghiên cứu về khối đa diện, đánh dấu sự hồi sinh của mối quan tâm đến hình học. Chính Coxeter đã liệt kê các khối đa diện đều hình sao, coi các khối của mặt phẳng là khối đa diện, phát hiện ra khối đa diện xiên đều và phát triển lý thuyết về khối đa diện, được Shephard phát hiện lần đầu tiên và ủng hộ vào năm 1952. Chính phát hiện này đã đóng góp cho nhiều lĩnh vực hình học khác.
Vào nửa sau của thế kỷ 20, Grünbaum đã xuất bản những tác phẩm quan trọng trong hai lĩnh vực. Một là về khối đa diện lồi, trong đó ông ghi nhận xu hướng của các nhà toán học là định nghĩa “khối đa diện” theo những cách khác nhau và đôi khi không tương thích để phù hợp với nhu cầu của thời điểm hiện tại. Thứ hai là loạt bài mở rộng định nghĩa đã được chấp nhận về các khối đa diện, chẳng hạn như việc phát hiện ra nhiều khối đa diện mới. Vào cuối thế kỷ 20, những ý tưởng sau này hợp nhất với những nghiên cứu khác về phức hợp nhân tố, khai sinh ra ý tưởng hiện đại về khối đa diện trừu tượng (as abstract polyhedra), đặc biệt là những ý tưởng tiên phong của McMullen và Schulte.
