Phương trình tiếp tuyến là một trong những kiến thức Toán học quan trọng đối với các bạn học sinh lớp 10, 11, 12. Vậy làm sao để viết được phương trình tiếp tuyến?
Đừng lo, đội ngũ INVERT chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn viết phương trình tiếp tuyến đơn giản, dễ hiểu thông qua bài viết sau.
Mục lục bài viết [Ẩn]
Kiến thức cần nhớ về phương trình tiếp tuyến
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0) ).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x0, y0) là:
y – y0 = f’ (x0) . (x – x0)
Nguyên tắc chung: Để có thể lập được phương trình tiếp tuyến là phải tìm được hoành độ của tiếp điểm x0.
Công thức phương trình tiếp tuyến và các dạng bài tập thường gặp
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại điểm M (x0, y0).
Phương pháp giải:
– Bước 1: Tính đạo hàm y’ = f(x). Từ đó suy ra hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x0).
– Bước 2: Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M (x0, y0) có dạng: y = y'(x0)(x – x0) + y0.
Chú ý:
- Nếu đề cho hoành độ tiếp điểm x0 thì tìm y0 bằng cách thế x0 vào hàm số y = f(x0).
- Nếu đề cho tung độ tiếp điểm y0 thì tìm y0 bằng cách thế y0 vào hàm số y = f(x0).
- Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x) với đường thẳng d: y = ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm x là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (C) và d. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d có dạng f(x) = ax + b.
Đặc biệt: Trục hoành Ox thì có y = 0 và trục tung Oy thì x = 0.
Cách sử dụng máy tính cầm tay:
Nhận xét: Sử dụng máy tính là cách rút gọn các bước ở cách tính thủ công. Đồng thời, cách làm này còn giúp bạn tính toán nhanh và chính xác hơn. Đặc biệt, với hình thức thi trắc nghiệm thì sử dụng máy tính cầm tay là phương pháp được nhiều giáo viên hướng dẫn và học sinh chọn.
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C); y = x3 + 2×2 tại điểm M (1; 3).
Giải:
Cách 1: Ta có y’ = 3×2 + 4x => k = y'(1) = 3.12 + 4.1 = 7.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (1; 3) là:
d: y = y’0 (x – x0) + y0 <=> y = 7.(x – 1) + 3 <=> y = 7x – 4.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 7x – 4.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại M là y = 7x – 4.
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm với trục hoành của hàm số (C): y = x4 – 2×2.
Giải:
Cách 1:
Ta có: 4×3 – 4x = 4x.(x2 – 1)
Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành Ox là:
Bây giờ bài toán chuyển thành dạng viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.
+ Với x0 = 0 => y0 = 0 và k = y'(x0)= 0.
=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (0; 0) có hệ số góc k = 0 là: y = 0 với:
=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (√2; 0) có hệ số góc k = 4√2 là:
+ Với: x0 = – √2 ⇒ y0 = 0 và k = y'(x0) = -4√2((-√2)² – 1) = -4√2
=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (-√2; 0) có hệ số góc k = – 4√2 là:
Vậy có 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là:
y = 0, y = 4√2x – 8 và y = – 4√2x – 8.
Ví dụ 3: Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): y = (2x +1)/ (x -1) và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M.
Giải:
Cách 1:
Ta có: x0 = -1. Suy ra y0 = y(-1) = 1/2 và y’ = (-3)/ (x -1)² => y’ (-1) = -3/4
Phương trình tiếp tuyến tại M là:
y = -3/4 (x +1) + 1/2 ⇔ y = -3x/4 – 1/4
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – (3x/ 4) – 1/4.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – (3x/ 4) – 1/4.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA).
Phương pháp
Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị
– Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA; yA), hệ số góc k có dạng:
d: y = k( x- xA) + yA (*)
– Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ có nghiệm.
– Bước 3: Giải hệ phương trình trên, tìm được x, suy ra tìm được k, sau đó thế vào phương trình đường thẳng d (*) thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2:
– Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) là tiếp điểm. Tính hệ số góc tiếp tuyến k = f'(x0) theo x0.
– Bước 2: Phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = f'(x0).(x – x0) + f(x0) (**).
Vì điểm A(xA; yA) thuộc d nên yA = f'(x0).(xA – x0) + f(x0). Giải phương trình trên tìm được x0.
– Bước 3: Thay x0 vừa tìm được vào (**) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm .
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = – 4×3 + 3x + 1 đi qua điểm A(-1; 2).
Giải: Ta có: y’= – 12×2 + 3
– Đường thẳng d đi qua A (-1; 2) có hệ số góc k có phương trình d: y = k(x + 1) + 2.
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ có nghiệm.
Rút k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được:
– 4×3 + 3x + 1 = (-12×2 + 3)(x + 1) + 2
⇔ 8x^3 + 12x² – 4 =0 ⇔ ( x – 1/2) (x +1)² = 0
<=> x = -1 hoặc x = 1/2.
+ Với x = -1. Thế vào phương trình k = – 12×2 + 3 ta được k bằng -9.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 9x – 7.
+ Với x = 1/2. Thế vào phương trình k = – 12×2 + 3 ta được k bằng 0.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2.
Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 2) là y = – 9x – 7 và y = 2.
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của (C): y = (2x – 1)/(x + 1) đi qua điểm A(-1; 4).
Giải:
Điều kiện: x khác – 1. Ta có: y’ = 3/(x + 1)²
Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 4) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4.
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
Thay k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được:
Đối chiếu với điều kiện x khác – 1 thì nghiệm x = -1 (loại), nghiệm x = -4 (nhận).
Với x = -4 =>
Phương trình tiếp tuyến là
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k
Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm và tính y’= f'(x)
- Bước 2: Hệ số góc tiếp tuyến k = f'(x0). Giải phương trình này ta tìm được x0, thế vào hàm số tìm được y0.
- Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến dưới dạng như sau: d: y = y’0.(x – x0) + y0.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng:
– Tiếp tuyến d // đường thẳng Δ: y = ax + b => k = a.
Tổng quát: phương trình tiếp tuyến d // đường thẳng cho trước có hệ số góc k = a.
Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳng d hay không. Nếu trùng thì không nhận kết quả đó.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng:
– Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng Δ: y = ax + b => k.a = -1 => k = -(1/a).
Tổng quát: phương trình tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng cho trước có hệ số góc k = -(1/k).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tạo với trục hoành 1 góc α:
– Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì k = ± tanα.
Tổng quát: tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y = ax + b một góc α, khi đó:
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 – 3x + 2 có hệ số góc bằng 9.
Giải:
Ta có: y’= 3×2 – 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0; y0). Suy ra hệ số góc tiếp tuyến là k = y'(x0)
+ Với x0 = 2 => y0 = (23) – 3.2 + 2 = 4. Ta có tiếp điểm M1(2; 4).
Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1: y = 9(x -2) + 4 ⇔ y = 9x – 14
+ Với x0 = -2 => y0 = 0. Ta có tiếp điểm M2 (-2; 0).
Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2: y = 9(x + 2) + 0 ⇔ y = 9x + 18
Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là (d1): y = 9x – 14 và (d2): y = 9x + 18.
Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến chứa tham số m
Phương pháp: Dựa vào điều kiện bài toán và các dạng toán ở trên để biện luận tìm ra tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 – 3×2 có đồ thị hàm số (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m2 – 4)x + 2m – 1.
Giải:
TXD: D = R
Ta có: y’ = 3×2 – 6x.
Điểm M có hoành độ x0 = 1 nên suy ra
y0 = (x0)³ – 3(x0)² = 1³ – 3(1)² = -2
Vậy tọa độ điểm M (1; -2).
Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M (1; -2) của (C) có dạng:
y – y0 = y'(x0).(x – x0) <=> y + 2 = (3.12 – 6.1).(x – 1) <=> y = -3x + 1.
Khi đó để (d) // Δ:
Từ đó phương trình đường thẳng Δ: y = -3x + 3.
Kết luận: vậy với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M (1; -2) song song với đường thẳng Δ.
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho điểm M0 (x0; y0) nằm trên đường tròn (C), tâm I (a; b). Gọi Δ là tiếp tiếp của (C) tại M0.
Ta có:
M0 thuộc Δ và vectơ IM0 = (x0 – a; y0 – b) là vectơ pháp tuyến của Δ.
Do đó phương trình của Δ là:
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b) (y – y0) = 0 (1)
Vậy phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x – a)2 + (b – y)2 = R2 tại điểm M0 (x0; y0) nằm trên đường tròn.
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính đường tròn
Áp dụng kiến thức:
– Phương trình đường tròn (C) có dạng: (x – a)2 + (b – y)2 = R2 thì có tâm I (a; b) và bán kính R.
– Phương trình có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 và a2 + b2 – c > 0 thì phương trình đường tròn có tâm I (a; b) và bán kính R = √( a2 + b2 – c).
Phương pháp:
– Biến đổi phương trình về một trong hai dạng trên sau đó xác định tâm I và bán kính R.
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn 2×2 + 2y2 – 8x – 4y – 6 = 0.
Ta có: 2×2 + 2y2 – 8x – 4y – 6 = 0
<=> x2 + y2 – 4x – 2y – 3 = 0
Ta có: a2 + b2 – c = 22 + 12 + 3 = 8 > 0 => Đây là phương trình đường tròn .
Phương trình đường tròn có tâm I (2; 1) và bán kinh R = √(a2 + b2 – c)= 2√2.
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm
Phương pháp:
Cách 1:
– Tìm tọa độ tâm I (a; b) của đường tròn (C)
– Tìm bán kính R của (C)
– Viết phương trình đường tròn (C) dạng : (x – a)2 + (b – y)2 = R2
Cách 2:
– Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
– Từ điều kiện bài toán đi qua các điểm (thường là 3 điểm ) rồi lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c.
– Giải hệ phương trình tìm được a, b, c rồi thay vào phương trình đường tròn (C).
– Kết luận phương trình đường tròn tìm được.
Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) có tâm I (1; 3) và đi qua điểm O (0; 0)
b) Có đường kính AB với A (1; 1), B (5; 3)
c) Đi qua 3 điểm A (-1; 3), B (3; 5), C (4; -2).
Giải:
a) (C) có tâm I (1; 3) và đi qua điểm O (0; 0):
Ta có R = OI mà
=> Đường tròn (C) có I (1; 3) và đi qua điểm O (0; 0) và bán kính R = √10
có phương trình:
(x – 1)2 + (y – 3)2 = 10.
b) (C) đường kính AB với A (1; 1), B (5; 3):
– Ta có tọa độ tâm I của (C0 là trung điểm của A, B là:
Bán kính là:
=> Đường tròn (C) có I (3; 2) và bán kính R = √5 có phương trình là:
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 5.
c) Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A (-1; 3), B (3; 5), C (4; -2).
– Giả sử đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
– Vì (C) đi qua 3 điểm A (-1; 3), B (3; 5), C (4; -2) nên ta lần lượt thay tọa độ A, B, C vào (C), có được hệ phương trình sau:
– Giải hệ phương trình ta được
a = 7/3, b = 4/3, c = -20/3
=> Phương trình đường tròn (C) là:
Dạng 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
Phương pháp:
– Dựa vào tính chất tiếp tuyến của đường tròn.
+ Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) thì d[I, Δ ] = R
+ Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) tại điểm A thì d[I, Δ ] = IA = R
+ Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) và (Δ2) thì d[I, Δ1 ] = d[I, Δ2 ] R
Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:
a) (C) có tâm I (2; 5) và tiếp xúc với Ox
b) (C) có tâm I (-1; 2) và tiếp xúc đường thẳng (Δ): x + 2y – 8 = 0
c) (C) đi qua A (2; -1) và tiếp xúc với 2 trục tọa độ Ox, Oy.
Giải:
a) (C) có tâm I (2; 5) và tiếp xúc với Ox:
– Ox có phương trình y = 0
– Bán kính R của đường tròn là khoảng cách từ I đến Ox, ta có:
=> Phương trình đường tròn (C) có dạng:
b) (C) có tâm I (-1; 2) và tiếp xúc đường thẳng (Δ): x + 2y – 8 = 0:
– Ta có:
=> Phương trình đường tròn (C) có dạng: (x + 1)2 + (y – 5)2 = 5
c) (C) đi qua A (2; -1) và tiếp xúc với 2 trục tọa độ Ox, Oy:
– Vì A nằm ở góc phần tư thứ tư nên đường tròn cũng nằm trong góc phần tư thứ tư, nên tọa độ tâm I = (R; -R)
– Ta có
<=> R2 = R2 – 4R + 4 + R2 – 2R + 1
<=> R2 – 6R + 5 = 0
<=> R = 1 hoặc R = 5
=> Vậy có 2 đường tròn thỏa mãn điều kiện bài toán, đó là:
(C1): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1
(C2): (x – 5) 2 + (y + 5)2 = 25
Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
Phương pháp:
Cách 1:
– Tính diện tích và nửa chu vi tam giác để tính được bán kính đường tròn r.
– Gọi I (a; b) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác thì khoảng cách từ tâm I tới 3 cạnh của tam giác là là bằng nhau và bằng r.
– Lập hệ phương trình 2 ẩn a, b
– Giải hệ phương trình 2 ẩn a, b và tìm được giá trị a, b.
Cách 2:
– Viết phương trình đường thẳng phân giác trong của 2 góc trong tam giác
– tìm giao điểm 2 đường phân giác đó ta được tâm I của đường tròn.
– Tính khoảng cách từ I với 1 cạnh bất kì của tam giác ta tìm được bán kính.
ví dụ: Cho hai điểm A( 4; 0) và B (0; 3)
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB
Giải:
a) Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là trung điểm của cạnh AB, nên tâm I có tọa độ là I (2; 3/2)
=> Bán kính: R = IA = 5/2
=> Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:
b) – Ta có:
– Vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên tâm Ir = (r; r) = (1; 1)
=> Phương trình đường tròn là : (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1.
Dạng 5: Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm và có tâm nằm trên đường thẳng
Phương pháp:
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Xác định tâm I là giao điểm của d
– Bán kính R = IA
Ví dụ: Viết phương trình đường tròn T đi qua 2 điểm A(5:-1) B(-2;-2). Tâm I thuộc đường thẳng d: 3x-2y+1=0
Giải:
Phương trình tiếp tuyến của đường cong
Ý nghĩa của đạo hàm : Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại một điểm thì bằng đạo hàm của hàm số tại điểm đó. Điều này dẫn đến nhiều dạng bài toán ứng dụng và thường xuất hiện trong các bài toán thi vào đại học.
Tiếp tuyến tại một điểm (x0,y0) trên đường cong (C): y = f(x) có phương trình
y = f'(x0).(x – x0) + f(x0).
Muốn xác định phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) mà tiếp tuyến đó đi qua một điểm M1(x1, y1) không nằm trên (C), ta thường tiến hành như sau :
Gọi tiếp điểm là M0(x0, f(x0)) thì phương trình của tiếp tuyến phải tìm là
y = f'(x0).(x – x0) + f(x0).
Vì tiếp tuyến đó đi qua điểm M1(x1, y1) cho trước nên x0 là nghiệm của phương trình:
y1 = f'(x0).(x1 – x0) + f(x0).
Trong một số trường hợp, ta sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong y = f(x), y = g(x) : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là f(x) = g(x), điều kiện tiếp xúc là phương trình này có nghiệm kép.
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 – 3×2 + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(-1,-2).
Giải:
Gọi tiếp điểm là M0(x0, y0) với y0 = x30 – 3×20 + 2 thì phương trình tiếp tuyến là:
Tiếp tuyến đi qua điểm A(-1, -2), suy ra
Phương trình có 2 nghiệm x0 = -1 và x0 = 2. Thế vào (1) ta có 2 tiếp tuyến với phương trình là y = 9x + 7 và y = – 2.
Bài tập vận dụng viết phương trình tiếp tuyến
1. Bài tập viết phương trình tiếp tuyến có lời giải
Câu 1: Cho hàm số (C):y=1/4×4-2x². Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0>0 biết rằng y”(x0)=-1.
Giải:
Ta có y’=x3-4x; y”=3×2-4
Vì y”(x0 )=-13×0²-4=-1×02=1×0=1 (Vì x0>0).
Với x0=1y0=-7/4 ; y0‘=-3. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y=-3(x-1)-7/4=-3x+5/4.
Câu 2: Cho hàm số y=-2x³+6x²-5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M và có hoành độ bằng 3
Giải:
Ta có y’=-6×2+12x; y'(3=-18; y(3)=-5.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3 là y=-18(x-3)-5=-18x+49.
Câu 3: Cho đồ thị hàm số y=3x-4×2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), ta biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(1;3).
Giải:
Ta có y’=3-8x.
Ta gọi điểm M(x0;y0) là tọa độ của tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng: y=(3-8×0)(x-x0)+3×0-4×0².
Vì tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm A(1;3) nên ta được:
3=(3-8×0)(1-x0)+3×0-4×0²4×02-8×0=0x0=0 hoặc x0=2.
Với x0=0 thì y(x0)=0 và y'(x0)=3. Khi đo phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=3(x-0)+0=3x.
Với x0=2 thì y(x0)=-10 và y'(x0)=-13. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=-13(x-2)-10=-13x+16.
Câu 4: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y(x-5)/(-x+1) tại điểm A của (C) và trục hoành. Viết phương trình của d.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm của phương trình (x-5)/(-x+1)=0x= 5.
Khi đó tọa độ điểm A=(5;0).
Điều kiện xác định: x1. Ta có y’=(-4)/(-x+1)²; y'(5)=-1/4.
Phương trình đường thẳng d chính là phương trình tiếp tuyến tại điểm A(5;0) có dạng y=-1/4(x-5)=-1/4 x+5/4.
Câu 5: Cho hàm số (C):y=x³-3x+2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), ta biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.
Giải:
Gọi điểm M(x0;y0) là tọa độ của tiếp điểm.
Ta có y’=3×2-3.
Khi đó y'(x0)=3×0-3=9 thì y(x0)=4 và y'(x0)=9.
Với x0=2 thì y(x0)=4 và y'(x0)=9. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=9(x-2)+4=9x-14.
Với x0=-2 thì y(x0)=0 và y'(x0)=9. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=9(x+2)+0=9x+18.
Câu 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=-x-2×2+3 vuông góc với đường thẳng :x-8y+2017=0.
Giải:
Ta có y’=-4×3-4x.
Ta gọi tọa độ của tiếp điểm là điểm M(x0;y0).
Phương trình :x-8y+2017=0 hay :y=1/8x+2017/8.
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình d:y=1/8x+2017/8 nên ta có y'(x0)=-8 hay -4×03-4×0=-8×0=1.
Với x0=1y(x0)=0 và y'(x0)=-8. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -8(x – 1) +0 = -8x + 8.
Câu 7: Cho hàm số y=x3-3×2+6x+1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải: Gọi điểm M(x0;y0) là tọa độ của tiếp điểm.
Ta có y’=3×2-6x+6.
Khi đó y'(x0)=3×2-6x+6=3(x0²-2×0+2)=3[(x0-1)2+1]3.
Vậy hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y’ (x0)=3, dấu bằng xảy ra khi x0=1.
Với x0=1 thì y(x0)=5 và y'(x0)=3. Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=3(x-1)+5=3x+2.
2. Bài tập viết phương trình tiếp tuyến không có lời giải
Trên đây là công thức viết phương trình tiếp tuyến và các dạng toán thường gặp mà đội ngũ INVERT chúng tôi đã tổng hợp được. Mong rằng thông qua bài viết này các bạn hoàn toàn có thể áp dụng để viết phương trình tiếp tuyến một cách dễ dàng. Nếu có gì thắc mắc bạn cũng có thể bình luận bên dưới, chúng tôi sẽ giải đáp cho bạn. Chúc các bạn đạt được điểm số cao.
Tags:
công thức phương trình tiếp tuyếnphương trình tiếp tuyến lớp 12phương trình tiếp tuyến lớp 11
