Bảng công thức Tích phân - Đạo hàm

Bạn đang xem: Bảng công thức Tích phân – Đạo hàm – Mũ tại truongptdtntthptdienbiendong.edu.vn

Tích phân, đạo hàm, hàm số mũ và Logarit là những phép tính khoa học được sử dụng rất nhiều trong việc giải các bài toán đại số giải tích và được các nhà nghiên cứu ứng dụng trong mọi lĩnh vực đời sống để phát triển sản phẩm. Bài viết dưới đây sẽ cung cấp cho độc giả Bảng công thức Tích phân – Đạo hàm – Mũ – Logarit

1. Tích phân trong phép toán là gì?

Nguồn gốc sơ khai về tích phân đã có từ thời Ai Cập cổ đại khi mà những người có chức quyền ở Ai Cập cổ liên tục phải chia lại ruộng đất cho nông dân sau khi lũ sông Nile rút đi để lại một diện tích đất trồng có diện mạo khác hoàn toàn một năm trước đó. Để đảm bảo được công bằng thì các quan lại dựa vào khái niệm diện tích để chia đất.

Người nông dân Ai Cập cổ ngày xửa vốn không hiểu về diện tích đất ruộng, họ chỉ quan tâm đến việc chia đất công bằng theo khế ước ruộng đất mà họ được cấp. Vậy nên chia như nào để đảm bảo công bằng? Chính từ những yêu cầu của người nông dân mà các quan lại phải tìm cách giải quyết được chúng. Vì vậy, người Ai Cập tìm ra cách tính chính xác diện tích hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác và hình thang. Tiếp thu tri thức sơ khai về tích phân ban đầu, vào khoảng ngàn năm sau, nhà khao học Isaac Newton đã phát triển công thức tích phân với tính chính xác hơn. Phép tính của ông, dựa vào việc xấp xỉ diện tích nhiều phần nhỏ của mảnh đất để lấy tổng của chúng và lấy giới hạn của tổng (Người Ai Cập cổ đại chưa tìm ra khái niệm giới hạn). Kết quả tính toán như thế được mô tả qua tích phân của hàm số.

Định nghĩa về tích phân được biết rộng rãi trong lĩnh vực khoa học và đối lập với tích phân chúng ta có vi phân, đây là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích. Có thể hiểu đơn giản tích phân như là tổng của nhiều phần nhỏ với mỗi phần nhỏ này tương đương với tích của dx và f(x).

Có thể thấy giữa tích phân và vi phân mang ý nghĩa trái ngược nhau, nếu tích phân là tính tổng các phần nhỏ thì vi phân là tách thành các phần nhỏ. Mặc dù hai phép tính này trái ngược nhau về mặt ý nghĩa nhưng không hoàn toàn ngược nhau về nội dung công thức, vì công thức của vi phân là f’(x)dx còn của tích phân là tổng của các phần nhỏ f(x)dx.

Vì có cách tính như vậy nên tích phân xác định khi x chạy từ a tới b cũng chính là diện tích của hình tạo bởi đồ thị hàm số f(x) và các đường thẳng x = a, x = b.

Trong mối quan hệ giữa Đạo hàm – Tích phân: Trong đạo hàm, ta có biểu thức là f(x) ta tính ngược lại nguyên hàm F(x), suy ra từ nguyên hàm F(x) ta sẽ dễ dàng tính được tích phân xác định của f(x).

2. Đạo hàm trong phép toán là gì?

Hai từ Đạo hàm khi xét dưới dạng ngữ nghĩa thì có thể hiểu nó là một nơi chứa sự chỉ đạo, là thứ biểu hiện chỉ đạo của sự biến thiên đối với hàm số f(x) là sẽ tăng hoặc giảm và tăng hay giảm nhanh hay chậm.

Khi nhắc tới “đạo hàm” thì chúng ta thường mặc định hiểu rằng đây là nói về đạo hàm cấp 1, nhưng bên cạnh đó còn các đạo hàm cấp lớn hơn 1, ví dụ như đạo hàm cấp 2, cấp 3,…

Đạo hàm của f(x) là một dạng đại lượng (ký hiệu là f’(x)) nhằm mô tả sự biến thiên tức thời của hàm f(x) tại một điểm x xác định nào đó. Giá trị của đạo hàm tại x0 biểu diễn cho giá trị của độ dốc (hay hệ số góc) của đường tiếp tuyến với hàm số f(x) tại x0 (xem phần độ dốc phía dưới).

Trường hợp tại điểm x0 giá trị hàm số đang tăng thì nghĩa là f'(x0) > 0, đang giảm thì f'(x0) < 0, còn nếu f'(x0) = 0 thì hàm số đang tại đỉnh từ x0 và chuẩn bị đổi chiều, nhưng muốn xác định F'(x0) sẽ đổi từ chiều nào sang chiều nào thì phải xét đến đạo hàm cấp 2. Nếu trong điểm x0 mà |f'(x0)| lớn thì hàm số đang tăng (hoặc giảm) nhanh, còn nếu |f'(x0)| nhỏ thì hàm số đang tăng (hoặc giảm) chậm. Qua đó ta biết được ứng dụng chủ yếu của đạo hàm là cho biết được sự phụ thuộc của 2 hay nhiều đại lượng, như ở ví dụ trên thì x tăng thì y tăng hay giảm và tăng hay giảm nhanh hay chậm? Ứng dụng này rất quan trọng trong rất nhiều lĩnh vực đời sống vì ta không cần khảo sát, đo đạc thực tế để kiểm chứng điều này mà chỉ cần ứng dụng đạo hàm vào để tính.

3. Hàm số mũ trong phép toán là gì?

Số mũ được hiểu là lũy thừa hoặc chỉ số. Số mũ được ứng dụng phổ biến trong các bài toán đại số, và bởi việc phát mình ra số mũ trong các phép toán đã giúp việc học đại số trở nên dễ dàng và đóng góp vai trò quan trọng trong giải toán. Trước hết, hãy bắt đầu bằng cách nghiên cứu các phần của một số mũ.

Một biểu thức mũ bao gồm hai phần, đó là cơ số, được ký hiệu là b và số mũ, được ký hiệu là n. Dạng tổng quát của biểu thức mũ là b n . Ví dụ, 3 x 3 x 3 x 3 có thể được viết dưới dạng cấp số nhân là 3 4 trong đó 3 là cơ số và 4 là số mũ.

Hàm số mũ là dạng hàm số được thể hiện dưới dạng y = a^x, (a > 0, a ≠ 1). Hàm số mũ có tập xác định là real: D = R và mang tập giá trị: T = 0; dương vô cùng), nghĩa là trong trường hợp giải phương trình mũ khi đặt t = a^f(x) thì t > 0

Đồ thị biểu thị hàm số mũ được mô tả cụ thể: Trục tiệm cận của hàm số mũ: trục Ox là tiệm cận ngang. Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành ( y= ax > 0, ∀x), luôn cắt trục tung tại điểm ( 0;1) và đi qua điểm (1;a).

Từ mô tả của đồ thị hàm số mũ thì có thể thấy được tính đơn điệu của hàm số mũ biểu thị khi và chỉ khi:

+ Khi a > 1 thì hàm số y = ax đồng biến, khi đó ta luôn có: a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x).

+ Khi 0 < a < 1 thì hàm số y = ax nghịch biến, khi đó ta luôn có: a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x).

Đạo hàm của hàm số mũ có dạng:

(a^x)’ = a^x.ln a ⇒ (au)’ = u’.au.ln a

(e^x)’ = e^x ⇒ (eu)’ = eu.u’

4. Logarit trong phép toán là gì?

Logarit (gọi tắt là Log) được hiểu là một dạng phép toán nghịch đảo của phép lũy thừa. Trong đó, logarit của một số a là số mũ của cơ số b (mang giá trị cố định), và cơ số b đó được nâng lũy thừa để tạo thành số a đó.

Giải thích một cách đơn giản hơn, logarit là một dạng phép nhân với số lần được lặp đi lặp lại, ví dụ log cơ số a của x bằng y sẽ tương đương với a mũ y = x. Nếu logarit cơ số 10 của 1000 là 3, ta có, 10 mũ 3 = 1000 nghĩa là 1000 = 10 x 10 x 10 = 10 mũ 3 . Như vậy, lũy thừa của các số dương với số mũ bất kỳ luôn biểu thị kết quả là một số dương. Tương tự điều đó thì logarit sử dụng để tính toán phép nhân của 2 số dương bất kỳ luôn đi kèm điều kiện có 1 số dương ≠ 1.

Như vậy, ta có thể tóm tắt ngắn gọn định nghĩa về logarit như sau: Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Nghiệm duy nhất của phương trình a mũ n = b được gọi là log cơ số a của b (số n có tính chất là a^n = b).

Do đó log cơ số a của b = n ⇔ a^n = b.

Ví dụ: log cơ số 4 của 16 = 2 vì 4^2 = 16.

Logarit mang tập xác định: D = (0; +∝)

Tập giá trị của Logarit là real: T = R, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt t = log cơ số a của b thì t không có điều kiện.

Tính đơn điệu của hàm số logarit được thể hiện như sau:

+ Khi a > 1 thì y = log cơ số a của x đồng biến trên D khi đó nếu: log cơ số a của f(x) > log cơ số a của g(x) ⇔ f(x) > g(x).

+ Khi 0 < a < 1 thì y = log cơ số a của x nghịch biến trên D khi đó nếu log của a của f(x) > log của a của g(x) ⇔ f(x) < g(x).

Bên cạnh đó, trong lĩnh vực toán học còn tồn tại một dạng Logarit khác, là Logarit tự nhiên (còn gọi là Logarit Nêpe) được hiểu là dạng Logarit cơ số e do nhà toán học John Napier sáng tạo ra. Logarit tự nhiên có ký hiệu là lnx hay log cơ số e của x. Logarit tự nhiên của một số x là bậc của số e sao cho số e lũy thừa lên bằng x, nghĩa là lnx = a ⇔ e^a=x. Với số e có giá trị xấp xỉ bằng 2,71828.