Tính diện tích hình thang – Hình thang là một trong những hình học cơ bản và thường xuất hiện trong nhiều tình huống thực tế. Việc hiểu và biết cách tính diện tích và chu vi của nó không chỉ quan trọng trong toán học mà còn có ứng dụng rộng rãi trong kiến trúc, xây dựng, và nhiều lĩnh vực khác.
Trong bài viết này, Truongptdtntthptdienbiendong.edu.vn sẽ giới thiệu cho bạn các công thức cơ bản để tính diện tích và chu vi của hình thang một cách dễ hiểu và đơn giản nhất. Hãy cùng theo dõi để nắm vững kiến thức này và áp dụng vào thực tế một cách thuận tiện và nhanh chóng nhé!
Diện tích và chu vi của hình thang là hai khái niệm quan trọng trong hình học phẳng. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu cho bạn về công thức tính diện tích, chu vi hình thang và cách sử dụng nó trong một số bài tập tham khảo. Hãy cùng theo dõi nhé!
2. Hình thang là gì?
Hình thang trong hình học Euclide là một tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song này được gọi là các cạnh đáy của hình thang, hai cạnh còn lại gọi là cạnh bên.
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song, hai góc kề một cạnh bên có tổng bằng 180 độ. Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhay thì hai cạnh bên song song và bằng nhau. Ngược lại, hình thang có hai cạnh bên song song thì chúng bằng nhau và hai cạnh đáy cũng bằng nhau. Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
Hình thang là tứ giác lồi có 4 cạnh. Trong đó có hai cạnh song song với nhau được gọi là cạnh đáy, hai cạnh còn lại được gọi là hai cạnh bên.
Hình thang là gì
Ngoài ra hình thang còn có một số trường hợp đặc biệt như:
- Hình thang vuông: Hình thang có 1 góc vuông được gọi là hình thang vuông
- Hình thang cân: Hình thang có 2 góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang vuông cân: Là hình thang vừa vuông vừa cân và còn được gọi là hình chữ nhật.
Các loại hình thang thường gặp
- Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
- Hình bình hành là hình thang có 2 cạnh đáy bằng nhau và 2 cạnh bên song song và bằng nhau.
- Hình chữ nhật là hình thang vừa vuông vừa cân.
3. Dấu hiệu nhận biết hình thang
Các dấu hiệu nhận biết hình thang là những điểm quan trọng để xác định một tứ giác có phải là hình thang hay không. Bạn có thể sử dụng những dấu hiệu này để kiểm tra và nhận biết các hình thang trong các bài toán hình học.
Dấu hiệu nhận biết hình thang chính là định nghĩa của hình thang hay: tứ giác có hai cạnh đối song song với nhau.
Ví dụ: Tứ giác ABCD có AB // CD ⇔ Tứ giác ABCD là hình thang.
- 5 dấu hiệu nhận biết hình thang
Hình thang có 5 dấu hiệu nhận biết như sau:
+ Tứ giác có hai cạnh đối song song
+ Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông
+ Hình thang có hai góc kề một đáy là hình thang cân
+ Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân
+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân
Dấu hiệu nhận biết hình thang
Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
+ Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.
+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
+ Hình thang có hai trục đối xứng của hai đáy trùng nhau là hình thang cân.
+ Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.
+ Hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân
4. Tính chất của hình thang
- Tính chất về cạnh
- Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên sẽ song song và bằng nhau.
- Hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau.
- Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau.
- Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 180 độ ( Hai hóc nằm ở vị trí trong cùng của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy).
- Đường trung bình của hình thang
- Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang
- Tính chất: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Tính chất của hình thang
5. Công thức tính diện tích hình thang
Diện tích hình thang bằng trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy.
S = (a + b)/2 x h
Trong đó: S là diện tích hình thang.
a và b là độ dài 2 cạnh đáy.
h là chiều cao hạ từ cạnh đáy a xuống b hoặc ngược lại (khoảng cách giữa 2 cạnh đáy).
Bạn có thể ghi nhớ công thức tính diện tích của hình thang một cách dễ dàng qua bài thơ dưới đây:
“Muốn tính diện tích hình thang
Đáy lớn đáy bé ta mang cộng vào
Rồi đem nhân với chiều cao
Chia đôi lấy nửa thế nào cũng ra.”
Công thức tính diện tích hình thang
Công thức tính diện tích hình thang khi biết 4 cạnh (bài toán nâng cao)
Trong trường hợp bài toán cho dữ kiện biết độ dài của 4 cạnh, nói rõ cạnh đáy a, c với cạnh đáy c lớn hơn cạnh đáy a, cạnh bên là b và d thì bạn có thể tính được diện tích hình thang theo công thức sau.
Công thức tính diện tích hình thang khi biết 4 cạnh
Trong đó: S: Diện tích
a: cạnh đáy bé
c: cạnh đáy lớn
b, d: cạnh bên hình thang
Cách tính diện tích hình thang vuông
Trong hình học Euclid, hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Cạnh bên vuông góc với hai đáy cũng chính là chiều cao h của hình thang. Hình thang vuông là một trường hợp đặc biệt của hình thang.
Công thức chung tính diện tích hình thang vuông tương tự như hình thang thường: trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy.
S = (a + b)/2 x h
Trong đó: S là diện tích hình thang.
a và b là độ dài 2 cạnh đáy.
h là độ dài cạnh bên vuông góc với 2 đáy.
6. Công thức tính chu vi hình thang
Chu vi hình thang là độ dài đường bao quanh một hình thang. Từ chu vi được dùng với cả hai nghĩa là đường bao quanh một diện tích hình thang và tổng độ dài của đường này.
Công thức tính chu vi hình thang: Chu vi hình thang bằng tổng các cạnh bên và cạnh đáy.
P = a + b + c + d
Trong đó: P là chu vi hình thang,
a và b lần lượt là độ dài 2 cạnh đáy,
c và d lần lượt là độ dài 2 cạnh bên.
Ví dụ minh họa: Một hình thang có độ dài các cạnh bên lần lượt là 8cm, độ dài đáy lớn là 16 cm và độ dài đáy bé là 8 cm. Tính chu vi hình thang.
Bài giải:
Chu vi hình thang là:
8+8+8+16 = 40 (cm)
Đáp số chu vi của hình thang = 40 cm.
Công thức tính chu vi hình thang
Công thức tính chu vi hình thang vuông
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Nói cách khác hình thang vuông là một trường hợp đặc biệt của hình thang. Cạnh bên góc vuông là chiều cao của hình thang. Hình thang vuông có cách tính chu vi tương tự hình thang thường.
P = a + b + c + d
Trong đó:
P là ký hiệu chu vi.
a, b là hai cạnh đáy hình thang.
c, d là cạnh bên hình thang.
Công thức tính chu vi hình thang cân dễ hiểu
Hình thang cân là tứ giác có hai cạnh song song (hình thang) và có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.
Công thức tính chu vi hình thang cân là:
P = (2 x a) + b + c
Trong đó:
P là ký hiệu chu vi.
a, b là hai cạnh đáy hình thang.
c, d là cạnh bên hình thang.
Một số hình thang cân đặc biệt là:
- Hình bình hành: Hình bình hành là một loại hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau và hai cạnh bên song song và bằng nhau. Nó có tính chất đối xứng và được sử dụng rộng rãi trong hình học và trong việc xác định mối quan hệ giữa các góc và cạnh của nó.
- Hình chữ nhật: Hình chữ nhật là một loại hình thang đặc biệt có tất cả các góc bằng nhau và bằng 90 độ, tức là nó là một hình thang vuông với tất cả các cạnh bên bằng nhau. Hình chữ nhật là một trong những loại hình thang phổ biến nhất và thường được sử dụng trong thiết kế và xây dựng các công trình.
7. Các dạng bài tập về hình thang thường gặp cho bạn tham khảo
Dạng 1: Tính độ dài cạnh bên của hình thang cân khi biết chu vi
Ví dụ: Tính độ dài của hình thang có hai cạnh bên bằng nhau biết chu vi của hình thang bằng 68cm và độ dài hai cạnh đáy lần lượt là 20cm và 26cm.
Lời giải:
Tổng độ dài hai cạnh bên của hình thang là:
68 – 20 – 26 = 22 (cm)
Độ dài cạnh bên của hình thang là:
22 : 2 = 11 (cm)
Đáp số: 11cm
Dạng 2: Tính chu vi hình bình thang khi viết độ dài các đáy và cạnh bên
Ví dụ: Tính chu vi của hình thang, biết đáy lớn bằng 12 cm; đáy bé bằng 10 cm và hai cạnh bên lần lượt bằng 7 cm và 8 cm
Lời giải:
Chu vi hình thang là:
12 + 10 + 7 + 8 = 37 (cm)
Đáp số: 37cm
Các dạng bài tập về hình thang
Dạng 3: Tính diện tích hình thang khi chưa biết độ dài hai đáy và chiều cao
Ví dụ 1: Một hình thang có chiều cao bằng 56cm. Đáy lớn hơn đáy bé 24cm và đáy bé bằng 2/5 đáy lớn. Tính diện tích hình thang.
Lời giải:
Hiệu số phần bằng nhau là:
5 – 2 = 3 (phần)
Độ dài đáy lớn là:
24 : 3 x 5 = 40 (cm)
Độ dài đáy bé là:
40 – 24 = 16 (cm)
Diện tích hình thang là:
(16 + 40) x 56 : 2 = 1568 (cm2)
Đáp số: 1568cm2
Dạng 4: Tính chiều cao khi biết độ dài hai đáy và diện tích
Ví dụ: Một hình thang vuông có diện tích bằng 14dm2, đáy bé bằng 2dm và đáy lớn bằng 5dm. Tính độ dài chiều cao của hình thang vuông đó.
Từ công thức tính diện tích hình thang, ta suy ra được công thức tính chiều cao của hình thang, đó là: h = S x 2 : (a + b) (Để tính chiều cao của hình thang, ta lấy diện tích chia cho trung bình cộng của hai đáy.)
Lời giải:
Độ dài chiều cao của hình thang là:
14 x 2 : (2 + 5) = 4 (dm)
Đáp số: 4dm
Dạng 5: Tính diện tích hình bình thang khi biết độ dài hai đáy và chiều cao
Ví dụ: Cho hình thang có độ dài đáy nhỏ bằng 5cm, đáy lớn bằng 10cm. Chiều cao của hình thang bằng 6cm. Tính diện tích của hình thang đó.
Lời giải:
Diện tích hình thang là:
(5 + 10) x 6 : 2 = 45 (cm2)
Đáp số: 45cm2
Một số bài tập về hình thang cân: Chứng minh hình thang cân
VD1: Hình thang ABCD (AB // CD) có góc ACD = góc BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
Lời giải: Gọi E là giao điểm của AC và BD.
Do góc ACD = góc BCD nên tam giác ECD có góc C1 = góc D1, nên là tam giác cân. Từ đó suy ra EC = ED. (1)
Tương tự do góc ACD = góc BCD và AB // CD nên tam giác EAB cân tại E, suy ra EA = EB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EA + EC = EB + ED => AC = BD
Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên hình thang ABCD là hình thang cân (điều phải chứng minh).
VD2: Cho tam giác cân ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D thuộc AC, E thuộc AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Đây là dạng chứng mình 1 tứ giác là hình thang cân, để giải dạng bài này ta tiến hành 2 bước:
– Bước 1: Chứng minh tứ giác đó là hình thang bằng các tính chất tứ giác có hai cạnh song song với nhau. Để chứng minh song song có thể dựa vào các cách như: (1) Hai góc đồng vị bằng nhau, (2) hai góc so le trong bằng nhau, (3) hai góc trong cùng phía bù nhau, (4) định lý từ vuông góc đến song song.
– Bước 2: Chứng minh hình thang đó là hình thang cân.
Lời giải:
Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và góc ABC = góc ACB (tính chất tam giác cân)
Vì BD, CE lần lượt là phân giác của góc ABC và góc ACB (giả thiết) nên theo tính chất tia phân giác:
Góc B1 = góc B2 = 1/2 của góc ABC
Góc C1 = góc C2 = 1/2 của góc ACB
Mà góc ABC = góc ACB (chứng minh trên) => góc B1 = góc B2 = góc C1 = góc C2
Xét tam giác ABD và tam giác ACE có: (1) AB = AC, (2) Góc A chung, (3) Góc B1 = góc C1 (chứng minh trên) => tam giác ABD = tam giác ACE (góc – cạnh – góc)
=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)
Ta có: AD = AE (chứng minh trên) nên tam giác ADE cân tại A (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) => góc AED = góc ADE (tính chất tam giác cân)
Xét tam giác ADE có: góc AED + góc ADE + góc A = 180 độ (định lý tổng ba góc trong một tam giác) => AED = (180 độ – góc A) / 2 (1)
Xét tam giác ABC có: góc A + góc ABC + góc ACB = 180 độ (định lý tổng ba góc trong một tam giác) => ABC = (180 độ – góc A) / 2 (2)
Từ (1) và (2) => góc AED = góc ABC, mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra DE // BC.
Do đó BEDC là hình thang.
Lại có góc ABC = góc ACB (chứng minh trên)
=> BEDC là hình thang cân.
Ta có: DE // BC => góc D1 = góc B2 (hai góc so le trong)
Lại có góc B2 = góc B2 (chứng minh trên) nên góc B1 = góc D1
=> Tam giác EBD cân tại E
=> EB = ED
Vậy BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
VD3: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng mình EA = EB, EC = ED.
Lời giải:
Do ABCD là hình thang cân (giả thiết) nên AD = BC, AC = BD (tính chất hình thang cân)
Xét tam giác ADC và tam giác BCD có:
AD = BC (chứng minh trên)
AC = BD (chứng mình trên)
DC chung
=> Tam giác ADC = tam giác BCD (cạnh – cạnh – cạnh)
Suy ra góc ACD = góc BDC (2 góc tương ứng)
Do đó tam giác EDC cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân) => EC = ED (tính chất tam giac cân)
Lại có: AC = BD (chứng minh trên), EC = ED (chứng minh trên)
=> AC – CE = BD – ED => EA = EB
Vậy EA = EB và EC = ED (điều phải chứng minh).
Một số bài tập về hình thang cân
Một số bài tập về hình thang cho bạn luyện tập tại nhà
Bài 1: Một hình thang có độ dài đáy lớn bằng 4,5dm; độ dài đáy nhỏ bằng 60cm và chiều cao bằng 8dm. Tính diện tích của hình thang đó.
Bài 2: Hình thang có tổng độ dài hai đáy bằng 24 cm, đáy lớn hơn đáy bé 1,2 cm, chiều cao kém đáy bé 2,4 cm. Tính S hình thang.
Bài 3: Hình thang có tổng độ dài hai đáy bằng 14,5 dm, đáy lớn gấp rưỡi đáy bé, chiều cao kém đáy bé 2,8 dm. Tính S hình thang.
Bài 4: Hình thang có tổng độ dài hai đáy bằng 30,5 dm, đáy lớn bằng 1,5 lần đáy bé, chiều cao hơn đáy bé 6,2 dm. Tính S hình thang.
Bài 5: Hình thang có đáy lớn hơn đáy bé 20,4 dm và bằng 5/3 đáy bé, chiều cao hơn đáy bé 2,1 dm. Tính S hình thang.
Bài 6: Có một mảnh đất hình thang với đáy bé là 24m, đáy lớn là 30m. Mở rộng hai dáy về phía bên phải của mảnh đất với đáy lớn thêm 7m, đáy nhỏ thêm 5m thu được mảnh đất hình thang mới với diện tích lớn hơn diện tích ban đầu là 36m2. Tính diện tích mảnh đất hình thang ban đầu.
Bài 7: Hình thang có tổng độ dài hai đáy bằng 60 m, 1/3 đáy lớn bằng 1/2 đáy bé, chiều cao bằng 80% đáy bé. Tính S hình thang.
Bài 8: Tính S hình thang biết:
- a) Độ dài hai đáy lần lượt là 12cm và 8cm; chiều cao là 5cm.
- b) Độ dài hai đáy lần lượt là 9,4m và 6,6m; chiều cao là 10,5m.
Bài 9: Tính diện tích hình thang có đáy lớn bằng 50 dm và bằng 80% chiều cao, đáy bé kém đáy lớn 12 dm.
Bài 10: Tính diện tích hình thang có chiều cao bằng 4 dm, đáy bé bằng 80% chiều cao và kém đáy lớn 1,2 dm.
Bài 11: Một hình thang có đáy nhỏ dài 7cm, đáy lớn dài 17cm được chia thành hai hình thang có đáy chung dài 13cm. Hãy so sánh diện tích hai hình thang có đáy chung nói trên.
Bài 12: Cho hình thang có hai cạnh đáy lần lượt là 6cm và 4cm. Chiều dài của cạnh bên bằng một nửa tổng độ dài hai cạnh đáy. Tính chu vi của hình thang đó, biết rằng hình thang có hai cạnh bên bằng nhau?
Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về cách tính diện tích và chu vi của hình thang một cách đơn giản và dễ hiểu nhất. Các công thức cơ bản đã được giới thiệu và minh họa qua ví dụ, giúp bạn nắm vững kiến thức cơ bản về hình thang trong hình học phẳng.
Việc nắm vững các công thức này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán liên quan đến hình thang một cách dễ dàng. Không chỉ trong lĩnh vực toán học, mà còn trong các lĩnh vực khác như kiến trúc, thiết kế, và quản lý đất đai.
Chúng tôi hy vọng rằng thông qua bài viết này, bạn đã có cái nhìn tổng quan về cách tính chu vi và diện tích hình thang và có thêm kiến thức hữu ích cho hành trình học tập và thực hành của mình. Cảm ơn bạn đã luôn theo dõi và đón đọc các bài viết của chúng tôi!
Những câu hỏi liên quan thường gặp về tính diện tích hình thang:
