Dao động điều hòa là gì? Phương trình của dao động điều hòa?

1. Dao động điều hòa là gì?

1.1. Một số khái niệm liên quan: 

Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác định gọi là vị trí cân bằng, bao gồm 2 dạng phổ biến là Dao động tuần hoàn và Dao động điều hòa.

Một dao động cơ học của con lắc lò xo được biểu diễu theo hàm Sin hoặc Cos theo thời gian t như sau: x = A.cos ( ωt + Ψ ), v = – ωA.sin( ωt + Ψ ), a = -ω².cos ( ωt + Ψ )

Trong đó: x – Li độ ( cm hoặc m ), v – Vận tốc ( m / s hoặc cm / s ), a – Gia tốc ( cm / s² hoặc m / s² ), t – Thời gian ( s ), A – Biên độ ( cm ), ω – Tần số góc ( rad / s ), Ψ – Pha ban đầu ( rad )

Dao động tuần hoàn là dao động có tuần xuất lặp đi lặp lại sau một thời gian nhất định.

1.2. Khái niệm dao động điều hòa: 

Dao động điều hòa là một loại dao động tuần hoàn đơn giản, có li độ (x) là hàm sin hoặc hàm cosin (hàm số lượng giác). Do đó, các đồ thị của dao động điều hòa thường được biểu diễn bằng đồ thị hàm số sin hoặc cosin.

Dao động điều hòa là trường hợp đơn giản nhất của dao động tuần hoàn.

2. Phương trình dao động điều hòa: 

Tìm A:

Trong đó:

– L là chiều dài quỹ đạo của dao động

– S là quãng đường vật đi được trong một chu kỳ

– Tìm ω:

– Tìm φ

Cách 1: Dựa vào t = 0 ta có hệ sau:

(Lưu ý: v.φ < 0)

Cách 2: Sử dụng vòng tròn lượng giác (VLG)

Góc Φ là góc hợp bởi giữa trục Ox và OM tại thời điểm ban đầu.

Cách 3: Thay kết quả vào phương trình: x = Acos(ωt + Φ ) được phương trình dao động điều hòa của vật.

Như vậy, ta có dao động điều hòa:

Phương trình x = Acos( ωt + φ) được gọi là phương trình dao động điều hòa

+ Với : A: biên độ dao động

ωt + φ (rad):  pha dao động tại thời điểm t

φ(rad):  pha ban đầu tại t = 0

Chú ý: Dao động điều hòa là hình chiếu của chuyển động tròn đều.

3. Chu kì, tần số, tần số góc của dao động điều hòa: 

Chu kì T của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực hiện được một dao động toàn phần. Đơn vị:  giây (s)

Tần số f của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây. Đơn vị: héc (Hz)

Tần số góc ω là đại lượng liên hệ với chu kì T hay với tần số f qua hệ thức dưới đây:

ω=T2π​=2πf

– Đơn vị của tần số góc là rad/s.

– Một chu kì dao động vật đi được quãng đường là S = 4A.

– Chiều dài quỹ đạo chuyển động của vật là L = 2A.

4. Vận tốc và gia tốc của dao động điều hòa: 

– Vận tốc của dao động điều hòa có công thức:

v=x′=−Aωsin⁡(ωt+φ)=ωAcos⁡(ωt+φ+2π​)

Tại vị trí cân bằng (VTCB), vận tốc có độ lớn cực đại: vmax​=ωA

Vận tốc nhanh pha hơn li độ một góc và vận tốc đổi chiều tại biên độ.​

– Gia tốc của dao động điều hòa:

a=v′=x′′=−ω2A=−ω2Acos⁡(ωt+φ)=ω2Acos⁡(ωt+φ+π)

Vecto gia tốc luôn có vị trí cân bằng

Gia tốc có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ

Tại biên, gia tốc có độ lớn cực đại

Tại VTCB, gia tốc có độ lớn bằng 0

Gia tốc nhanh pha hơn độ lớn một góc và ngược pha với số độ góc

5. Một số dạng bài tập vận dụng: 

5.1. Xác định các đại lượng đặc trưng trong bài tập dao động điều hòa: 

5.1.1. Lý thuyết: 

Đây là dạng toán xác định đại lượng như biên độ A, vận tốc góc ω, chu kỳ, tần số, pha ban đầu từ một số dữ kiện cho trước … bằng cách đồng nhất với phương trình dao động điều hòa chuẩn.

– Dao động điều hòa được xem là một dao động mà li độ của vật được mô tả bằng hàm cosin hay sin theo biến thời gian. Một cách khác, một dao động điều hòa có phương trình là nghiệm của phương trình vi phân: x’’ + ω2x = 0 có dạng như sau:

x = Acos(ωt + φ)

Trong đó:

x: Li độ, li độ là khoảng cách từ vật đến vị trí cân bằng ( Đơn vị độ dài)

A: Biên độ (li độ cực đại) ( Đơn vị độ dài)

ω: Vận tốc góc (rad/s)

ωt + φ: Pha dao động (rad/s) tại thời điểm t, cho biết trạng thái dao động của vật ( gồm vị trí và chiều )

φ : Pha ban đầu (rad) tại thời điểm t = 0s, phụ thuộc vào cách chọn gốc thời gian, gốc tọa độ.

Chú ý: φ, A là những đại lượng hằng, lớn hơn 0.

– Phương trình vận tốc v (m/s)

v = x’ = ωAcos(ωt + φ + π/2)

Suy ra: v_max = ωA Tại vị trí cân bằng x = 0, v_min = 0 đạt được tại 2 biên.

Nhận xét: Xét 1 dao động điều hoà, ta có vận tốc sẽ sớm pha hơn li độ góc π/2.

– Phương trình gia tốc a (m/s²)

a = v’ = x’’ = a = – ω2x = ω2Acos(ωt + φ + π/2)

suy ra: a_max = ω2A tại 2 biên, a_min = 0 tại vtcb x = 0

Nhận xét: dựa vào các biểu thức trên, khi xét 1 dao động điều hòa ta có gia tốc ngược pha với li độ và sớm pha hơn vận tốc góc π/2

– Chu kỳ: T = 2/ω

Định nghĩa chu kì là thời gian để vật thực hiện được một dao động hoặc thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động lặp lại như cũ.

– Tần số: f = ω/2 = 1/T

5.1.2. Bài tập vận dụng: 

Cho một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(4πt + π).Xác định chu kỳ, biên độ và vị trí tại thời điểm t = 0 ?

Bài giải:

Dựa vào phương trình dao động điều hòa chuẩn, ta có:

A = 5, T = 2π/ω = 2π/4π = 1/2

Tại thời điểm t = 0, thế vào phương trình ta được: x = 5cos(π) = -5

5.2. Tìm quãng đường vật đi được trong các bài tập dao động điều hòa: 

5.2.1. Lý thuyết: 

Nếu dạng 1 là sơ đẳng nhất, thì dạng này lại khá hay và thường được bắt gặp trong các bài tập dao động điều hòa. Khi cho một phương trình dao động điều hòa, biên độ A, chu kì T, có 2 kiểu cần được xem xét:

Kiểu 1: xác định quãng đường trong khoảng thời gian cố định cho trước 

Để ý rằng: trong 1 chu kì T, vật luôn đi được quãng 4A, trong nửa chu kì T/2, vật luôn đi được quãng 2A.

B1: Xác định vị trí của vật ở thời điểm t₁, t₂ cho trước. Tìm  = t₂ – t₁

B2: Tính = nT + t*

B3: Quãng đường là S = 4nA + S* với S* là quãng đường đi được trong t*. chú ý vị trí và chiều chuyển động tại t₁ và t₂ để tính S*

Kiểu 2: Tính toán S_max/S_min mà vật di chuyển được trong <  T/2

Để giải dạng này, chỉ nhớ chú ý sau:

Quãng đường lớn nhất là khi đối xứng qua vị trí cân bằng.

Quãng đường bé nhất khi đối xứng qua vị trí biên.

5.2.2. Bài tập vận dụng: 

1. Xét dao động điều hòa x = 12cos(4πt + π/3) mm. Quãng đường vật đi được sau 1s kể từ lúc bắt đầu là:

Bài giải:

Ta có T = 2π/ω = 0.5 s, suy ra t = 2T

Vậy S = 8A = 96 mm

2. Xét dao động điều hòa x = 6cos(4πt + π/3) cm. Tính quãng đường vật di chuyển được sau 2,125s từ lúc t = 0 ?

Bài giải:

Ta được: T = 2π/ω = 0.5s, suy ra = 4T + T/4, nên S = 16A + S*

Ta sẽ tính S*

Tại thời điểm t = 0, vật ở vị trí x = A/2, đi về phía VTCB vì π/3 > 0.

5.3. Tính toán tốc độ trung bình, vận tốc trung bình trong bài tập dao động điều hòa:

Xét vật dao động điều hòa trong khoảng thời gian T*

Tốc độ trung bình là phép chia tổng quãng đường đi được cho thời gian T*

Vận tốc trung bình là phép chia độ dời  trong thời gian T*

5.4. Một số bài tập hay gặp khác:

1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 2cos(2πt + π/4) cm. Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t = 2s đến t = 4,875s là:

A. 7,45m/s          B. 8,14cm/s         C. 7,16cm/s          D. 7,86cm/s

Bài giải: 

Bước 1: Tính quãng đường S trong khoảng thời gian Δt = t₂ – t₁ = 2,875s

Bước 2: Tính tốc độ trung bình: v = S/ Δt = 8,14 cm/s

2. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 6cos(20πt + π/6)cm. Vận tốc trung bình của vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ x = 3cm là:

Bài giải:

Bước 1: Tính khoảng thời gian vật đi từ VTCB đến vị trí x = 3 = A/2 dựa vào trục thời gian

Ta dễ dàng tính đươc

Bước 2: Tính vận tốc trung bình

3. Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(πt + π/3), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc của chất điểm đạt giá trị -2π cm/s lần thứ 7 là

A. 6,5 s.          B. 4,5 s.          C. 2,5 s.          D. 6,75 s.

Bài giải:

Xác định “thời điểm” ⇒ dùng đường tròn đa điểm với 1 trục x,v : A = 4cm, v_max = 4π cm/s.

Thời điểm ban đầu của ly độ là M_ox. Do vận tốc nhanh pha π/2 so với li độ Thời điểm ban đầu của vận tốc là M_ov, đứng trước M_ox góc π/2.

Vận tốc -2π cm/s tương ứng với M₁ và M₂ trên đường tròn.

N = 7 = 3.2 + 1 lần,

α = 3.2π + π/2 ⇒ t = 3T + T/4 = 6,5 s.