Việc xác định hàm số chẵn, lẻ có vai trò quan trọng trong chương trình toán THCS. Đây sẽ là những kiến thức quan trọng giúp các em chuẩn bị tốt nhất cho các bài thi cuối kì. Vậy hàm số chẵn và lẻ được xác định như thế nào? Tất cả sẽ được khám phá trong bài viết dưới đây.
1. Hàm số chẵn là gì?
Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
x ∈ D − x D
∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )
Ví dụ: Hàm số y = x² là hàm số chẵn
2. Hàm số lẻ là gì?
Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
x ∈ D − x D
∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)
Ví dụ: Ví dụ: Hàm y = x là hàm số lẻ
Chú ý. Điều kiện đầu tiên được gọi là điều kiện mà tập hợp đối xứng qua 0.
Ví dụ, D = (-2;2) là một tập đối xứng quanh 0, trong khi tập D’ = [-2;3] không đối xứng qua 0.
Tập R = (−∞;+∞) là tập đối xứng.
Lưu ý: Một hàm không nhất thiết phải là số chẵn hoặc số lẻ.
Ví dụ, hàm y = 2x + 1 không chẵn cũng không lẻ vì:
Tại x = 1 có f(1) = 2.1 + 1 = 3
Tại x = -1 có f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1
→ Hai giá trị f(1) và f(-1) không bằng nhau cũng không đối nhau.
Đồ thị của hàm số chẵn và lẻ
– Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung Oy làm trục đối xứng
– Hàm số lẻ có đồ thị có gốc tọa độ O là tâm đối xứng
3. Cách xác định chẵn lẻ:
3.1. Cách xác định chẵn lẻ theo định nghĩa:
Để xét tính chẵn lẻ của hàm số, bạn cần sử dụng định nghĩa và thủ tục xét hàm số chẵn, lẻ như sau:
Đưa ra chức năng =f(x) xác định trên DỄ
Các bước xét chẵn lẻ của một hàm số:
Bước 1. Tìm tập xác định DỄ của chức năng.
Bước 2. Kiểm tra:
– Nếu như ⇒−x∈D sau đó chuyển sang bước 3.
– Nếu tồn tại x Nhưng thì nó kết luận rằng hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Bước 3. Nhận dạng so sánh với
– Nếu như =f(x) thì kết luận hàm số chẵn.
– Nếu như =−f(x) thì kết luận hàm số là số lẻ.
3.2. Cách xác định hàm chẵn lẻ bằng máy tính:
Ý tưởng sử dụng Casio để chấm giải dựa trên việc tổng giá trị f(x) và f(–x) bằng nhau hay đối nhau. Để thực hiện, chúng tôi sử dụng tính năng Bảng trong chính sách hai chức năng.
Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = x³ + 2 x² – 3
Phần thưởng: Trên máy tính cầm tay Vinacal 570 ES Plus II chúng ta ấn như sau (đối với các dòng máy tính bỏ túi khác ấn tương tự): MODE 7
Chúng tôi triển khai để nhập chức năng được đưa ra trong vấn đề
Tiếp theo, chúng ta nhập hàm g ( x ) = f ( − x ) ( Tức là chúng ta nhấn − x ) ở đâu
Các mục tiếp theo là START, END, STEP ta để mặc định cho nhanh (khả năng chọn cũng được). Chúng tôi nhận được kết quả sau:
Ở đây ta thăm dò 2 cột giá trị tổng F(X) và G(X) thì thấy tại x = 1 thì 2 giá trị tổng không bằng nhau và cũng không đối nhau. nên hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ. Lưu ý rằng động thái này là gần đúng và không thay thế cho bằng chứng. mặt khác có thể được sử dụng trong bài kiểm tra khả năng giải quyết vấn đề.
4. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Xét tính chẵn lẻ của các hàm sau:
a) y = |x|;
b) y = (x + 2)2;
c) y = x3 + x;
đ) y = x2 + x + 1.
Hướng dẫn giải:
a) Cho y = f(x) = |x|.
° TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D .
° f(–x) = |–x| = |x| = f(x).
→ Vậy hàm y = |x| là một hàm chẵn.
b) Cho y = f(x) = (x + 2)2.
° TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D .
° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 (x + 2)2 = f(x)
° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 – (x + 2)2 = –f(x).
→ Vậy hàm số y = (x + 2)2 làm cho hàm không chẵn cũng không lẻ.
c) Cho y = f(x) = x3 + x.
° TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D .
° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)
→ Vậy y = x3 + x là hàm số lẻ.
d) Cho y = f(x) = x2 + x + 1.
° TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D .
° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 x2 + x + 1 = f(x)
° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 –(x2 + x + 1) = –f(x)
→ Vậy hàm số y = x2 + x + 1 là hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Ví dụ 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm: y = f(x) = x3 + x
TXĐ 😀 = RẺ
=> D là tập đối xứng.
lấy x ∈ D => – x ∈ D.
Xét f(-x) = (-x)3 + (-x) = -( x + x)= -f(x)
=> f(-x) = – f(x)
vậy: hàm số y = x3 + x là hàm số lẻ.
bài tập minh họa: kiểm tra tính chẵn lẻ của các chức năng:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi hàm số f(x), f(x) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của hàm số chẵn và hàm số lẻ.
Bài 2: Cho hàm số y=f(x), y=g(x) có cùng tập xác định D. Chứng minh rằng:
Nếu hai hàm trên là số lẻ thì hàm y=f(x)+g(x) là số lẻ.
Nếu hai hàm trên một là số chẵn và một là số lẻ thì hàm y=f(x)g(x) là số lẻ.
Bài 3: Cho hàm số f(x) = (m – 2)x2 + (m – 3)x + m2 – 4
a) Tìm m để f(x) chẵn
b) Tìm m để hàm số f(x) lẻ.
Bài 4: Xét tính chẵn lẻ của các hàm giá trị tuyệt đối sau
a) f(x) = |2x + 1| + |2x – 1|
b) f(x) = (|x + 1| + |x – 1|)/(|x + 1| – |x – 1|)
5. Xét tính chẵn lẻ của hàm lượng giác:
Phương pháp chung: Dựa vào định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ tương tự như những gì chúng ta đã biết trong chương trình lớp 10. Ta lần lượt làm theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:
+ Nếu D là tập đối xứng (tức là x ∈ D ⇒ -x ∈ D) thì ta chuyển sang bước 2
+ Nếu D không phải là tập đối xứng (nghĩa là ∃x ∈ D mà –x ∉ D) thì ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.
Bước 2: Thay x bằng –x và tính f(-x).
Bước 3: Kiểm tra (so sánh):
Nếu f(-x) = f(x) thì kết luận hàm số chẵn
Nếu f(-x) = -f(x) thì kết luận hàm số lẻ
Trường hợp khác thì kết luận hàm số không chẵn, không lẻ
Ví dụ:
Xét tính chẵn lẻ của các hàm sau:
Một. y = sinx.
b. y = cos(2x).
hướng dẫn giải
Một. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì –x ∈ D. Ta có: sin(-x) = -sinx. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có: cos(-2x) = cos(2x). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Ghi chú:
1) Hàm số y = 0 vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ, vừa là hàm hằng.
2) Khi xét tính chẵn lẻ của hàm số ta cần chú ý đến tập xác định đầu tiên để giải bài toán
chính xác.
3) Đồ thị hàm số đối xứng qua tâm O.
4) Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy.
Tính chẵn lẻ của các hàm lượng giác cơ bản:
1. Hàm số y = sinx
– Là hàm lẻ
– Có vô số tâm đối xứng: Ik(kπ; 0), k∈Z
2. Hàm số y = cosx
– Là hàm chẵn
– Có vô số tâm đối xứng: x = kπ; k∈Z
3. Hàm số y = tanx
– Là hàm lẻ
– Có vô số tâm đối xứng: Ik(kπ/2; 0), k∈Z
4. Hàm số y = cotx
– Là hàm lẻ
– Có vô số tâm đối xứng: Ik(kπ/2; 0), k∈Z
Như vậy, trên đây là những thông tin cơ bản về hàm chẵn, lẻ và cách tính hàm chẵn, lẻ. Hi vọng những thông tin này giúp ích cho các bạn trong quá trình làm bài.
