Nắm vững các kiến thức trọng tâm về hình bình hành sẽ giúp học sinh nắm vững các bài toán hình học đại cương. Dưới đây là những điều cơ bản của hình bình hành.
1. Thế nào là hình bình hành?
Hình bình hành trong hình học Euclid là một tứ giác được tạo bởi hai cặp đường thẳng song song cắt nhau. Nó là một loại hình thang đặc biệt.
Trong không gian 3D, hình bình hành tương đương với hình lục giác. Nói cách khác, hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, từ đó ta có các cặp: AB//CD và AC//BD
2. Tính chất và công thức của hình bình hành:
Tính chất hình bình hành
– Các cạnh đối song song và bằng nhau.
– Các góc đối đỉnh thì bằng nhau.
– Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Công thức tính chu vi hình bình hành
Chu vi tứ giác bằng tổng độ dài bốn cạnh của tứ giác. Vậy chu vi hình bình hành sẽ gấp 2 lần tổng độ dài các cặp cạnh kề nhau của hình bình hành đó.
Công thức tính chu vi hình bình hành
C=2.(a+b)
Trong đó: C là chu vi hình bình hành ABCD
a là độ dài cạnh AB và CD
b là độ dài cạnh Ac và BD
Bài tập ví dụ: Cho hình bình hành MNPQ, từ điểm M kẻ MH sao cho AH vuông góc với PQ. Biết MH=8cm và PQ=15cm. Tính diện tích hình bình hành MNPQ?
Phần thưởng
Diện tích hình bình hành MNPQ là:
S=à=MH.PQ= 8.15= 120(cm2)
Đáp số: 120cm2
Công thức tính diện tích hình bình hành khi biết 2 đường chéo
Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD, O là giao điểm của hai đường chéo, số đo góc AOB tạo bởi hai đường chéo đó. Diện tích hình bình hành khi biết độ dài hai đường chéo được tính như sau:
S = 1/2.AC.BD.Sin(AOB) = 1/2.AC.BD.Sin(AOD)
Công thức chung để tính diện tích hình bình hành khi biết hai đường chéo sẽ là: S = 1/2.cdsinα
Trong đó:
a là độ dài cạnh AB và CD
b là độ dài cạnh Ac và BD
Bài tập ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB=CD=5cm, cạnh AC=BD=12cm. Tính chu vi hình bình hành ABCD?
Phần thưởng:
Chu vi hình bình hành ABCD là:
C=2.(a+b)=2.5.12= 120(cm)
Đáp số: 120cm
Công thức tính diện tích hình bình hành
Diện tích của hình bình hành bằng chiều cao của nó nhân với đáy của nó.
S = à
Trong đó: S là diện tích hình bình hành ABCD
h là chiều cao của hình bình hành
a là độ dài cơ sở tương ứng
Bài tập ví dụ: Cho hình bình hành MNPQ, từ điểm M kẻ MH sao cho AH vuông góc với PQ. Biết MH=8cm và PQ=15cm. Tính diện tích hình bình hành MNPQ?
Phần thưởng
Diện tích hình bình hành MNPQ là:
S=à=MH.PQ= 8.15= 120(cm2)
Đáp số: 120cm2
Công thức tính diện tích hình bình hành khi biết 2 đường chéo
Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD, O là giao điểm của hai đường chéo, số đo góc AOB tạo bởi hai đường chéo đó. Diện tích hình bình hành khi biết độ dài hai đường chéo được tính như sau:
S = 1/2.AC.BD.Sin(AOB) = 1/2.AC.BD.Sin(AOD)
Công thức chung để tính diện tích hình bình hành khi biết hai đường chéo sẽ là: S = 1/2.cdsinα
Trong đó:
C và d lần lượt là độ dài hai đường chéo của hình bình hành
a là góc tạo bởi hai đường chéo
3. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành:
Hình bình hành là một tứ giác đặc biệt
Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
Tứ giác có các cạnh đối diện bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
– Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi cạnh là hình bình hành.
– Hình thang có hai cạnh đối song song là hình bình hành
– Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành
Hình bình hành là hình thang khi:
4. Một số phép toán liên quan đến hình bình hành:
Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất hình học.
Giải: Vận dụng định nghĩa và tính chất về cạnh, góc, đường chéo của hình bình hành.
Ví dụ minh họa: Cho hình bình hành ABCD . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng AF // CE
b) Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD với AF, CE. Chứng minh rằng DM = MN = NB.
Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Phương pháp giải: Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành.
Ví dụ minh họa: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của BD, AB, AC, CD.
a) Chứng minh EFGH là hình bình hành
b) Cho AD = a, BD = b. Tính chu vi hình bình hành EFGH.
Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy.
Ví dụ minh họa: Cho hình bình hành ABCD. Lấy N trên AB và M trên CD sao cho AN = CM.
a) Chứng minh rằng: AM // CN
b) Chứng minh rằng: DN = BM
c) Chứng minh rằng: AC, BD, MN đồng quy.
5. Bài tập về hình bình hành:
Bài 1: Hình bình hành ABCD có đáy AB = 15cm, chiều cao AH bằng 3/5 đáy. Tính diện tích hình bình hành đó.
Câu trả lời:
Chiều cao của hình bình hành ABCD là:
15 x 3/5 = 9 (cm)
Diện tích hình bình hành ABCD bằng:
15 x 9 = 135 (cm2)
Đáp số: 135cm2.
Bài 2: Cho ABCD là hình bình hành. Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: DE = BF
Câu trả lời:
Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)
EB = 1/2 AB (gt)
FD = 1/2 CD (gt)
Suy ra: EB = FD (1)
Mà AB//CD (gt)
ĐƯỢC // FD (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
⇒ DE = BF (tính chất hình bình hành)
Bài 3: Cho ABCD là hình bình hành. Gọi H, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và kẻ từ C đến BD.
a) Chứng minh AHCK là hình bình hành
b) Gọi M là giao điểm của AK và BC, gọi N là giao điểm của CH và AD. Chứng minh rằng AN = CM.
c) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh O, M, N thẳng hàng
Câu trả lời:
a) Xét AHD và CKB có:
H = K = 90⁰
AD = BC (cạnh đối của hình bình hành)
D1 = B1 (so le trong)
=> AHD = CKB (cạnh huyền – góc nhọn) => AH = CK
Ta lại có AH // CK (cùng vuông góc với BD)
=> Tứ giác AHCK là hình bình hành.
b) Tứ giác AHCK là hình bình hành nên AK // CH hay AM // CN.
Ta lại có AN // CM (ABCD là hình bình hành)
=> Tứ giác ANCM là hình bình hành => AN = CM (đpcm)
c) Hình bình hành AHCK có O là trung điểm của HK nên O là trung điểm của AC (tính chất đường chéo hình bình hành).
Hình bình hành ANCM có O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của MN.
=> M, N, O thẳng hàng (đpcm)
Bài 4: Tứ giác ABCD có E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Tại sao?
Câu trả lời:
Nối chéo AC.
Trong ∆ABC ta có:
E là trung điểm của AB (gt)
F là trung điểm của BC (gt)
Vậy EF là đường trung bình của ABC
EF//AC và EF = 1/2 AC
(tính chất đường trung bình tam giác) (1)
Trong ∆ADC ta có:
H là trung điểm của AD (gt)
G là trung điểm của DC (gt)
Vậy HG là trung bình cộng của ADC
⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (trung bình tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
Bài 5: Cho ABCD là hình bình hành. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của CD, AB, Đường chéo BD cắt AI, UK lần lượt tại E, F. Chứng minh DE = EF = FB
Câu trả lời:
Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)
AK = 1/2 AB (gt)
CI = 1/2 CD (gt)
Suy ra: AK = CI (1)
Ngược lại: AB // CD (gt)
⇒ AK // CI (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKCI là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
⇒ AI // CK
Trên ∆ABE ta có:
K là trung điểm của AB (gt)
AI // CK hoặc KF // AE nên BF = EF (đường trung bình của tam giác)
Trong ∆DCF, ta có:
I là trung điểm của DC (gt)
AI // CK hoặc IE // CF nên DE = EF (đường trung bình của tam giác)
Suy ra: DE = EF = FB.
Trên đây là những kiến thức cơ bản về hình bình hành nhằm củng cố và giúp các bạn vận dụng vào làm bài tập thực tế.
