Lăng kính là gì? Lăng kính là gì? Đây là những nội dung quan trọng của kiến thức đã học trong chương trình Toán lớp 12. Bài viết dưới đây sẽ giới thiệu đến các em những kiến thức cơ bản của bài học này.
1. Lăng trụ là gì?
Định nghĩa: Lăng trụ là một khối đa diện gồm hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên là song song và bằng nhau. Ngoài ra, hai đáy này có thể là hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác,… Tính chất: Hình hộp là một lăng trụ có đáy là hình bình hành.
2. Công thức tính thể tích và diện tích lăng trụ:
Khối lượng của một lăng kính
Thể tích lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao của lăng trụ hoặc khoảng cách giữa hai đáy.
V = BH
Trong đó:
– B là diện tích đáy của lăng trụ
– h là chiều cao của lăng trụ
– V là thể tích của lăng trụ
Diện tích xung quanh lăng kính
Diện tích xung quanh lăng trụ bằng chu vi đáy hoặc tổng diện tích các cạnh nhân với chiều cao của lăng trụ.
Sxq = 2p.h
Trong đó:
– p là nửa chu vi đáy
– h là chiều cao của lăng trụ
– Sxq là diện tích xung quanh của lăng trụ
Diện tích toàn phần của lăng trụ
Diện tích toàn phần của lăng trụ bằng tổng diện tích hai đáy và tổng diện tích xung quanh.
Stp = 2S + Sxq
Trong đó:
– S là diện tích của đa giác ở đáy
– Sxq là diện tích xung quanh của lăng trụ
– Stp là diện tích toàn phần của lăng trụ
3. Thế nào là lăng trụ đều?
Định nghĩa: Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều. Theo đó, lăng trụ đứng là lăng trụ có các mặt bên vuông góc với mặt đáy.
Ví dụ: Tất cả các lăng trụ đều là lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều, lăng trụ ngũ giác đều và lăng trụ lục giác đều.
Thiên nhiên:
– Hai đáy là hai đa giác bằng nhau nên các cạnh đáy cũng sẽ bằng nhau.
– Các mặt bên vuông góc với mặt đáy.
– Các mặt bên của lăng trụ đều là hình chữ nhật.
4. Lăng kính thường:
Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ có hai mặt đáy là hai tam giác đều.
Lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đều có hai đáy là hình vuông.
Lăng trụ đứng ngũ giác đều là lăng trụ đều có hai mặt đáy là các ngũ giác đều.
Lăng trụ lục giác đều là lăng trụ đều có hai đáy là hình lục giác.
5. Bài tập áp dụng:
5.1. Bài tập trắc nghiệm:
Câu hỏi 1: Lăng trụ đều là lăng trụ được tạo bởi:
A. Hai đáy là hai đa giác bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.
B. Hai đáy là hai đa giác đều, các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.
C. Hai đáy là hai đa giác bằng nhau, các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau
D. Hai đáy là hai đa giác bằng nhau, các mặt bên là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải: TRẢ LỜI
Câu 2: Một nhà hàng dự định làm một bể cá thủy tinh, dự định sử dụng hết 6,5 m² thủy tinh. Bể cá này có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Dung tích tối đa mà bể cá có thể chứa là bao nhiêu?
A. 1,50 m³
B. 1,15 m³
C. 1,23 m³
D. 1,45 m³
Hướng dẫn giải: Đáp án A
Câu 3: Xét lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Điểm A’ có hình chiếu vuông góc với mặt phẳng (ABC) và trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta biết cạnh A’O có kích thước a. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
A.a³/12
B. (a³√3)/ 6
C. (a³√3)/12
D. a³/2
Hướng dẫn giải: TRẢ LỜI
Câu 4: Biết tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều.
A. V = 3a³/6
B. V= 3a³/4
C. V = 3a³/3
D. V= 2a³/4
Hướng dẫn giải: Câu trả lời là không
Câu 5: Xét một lăng trụ có diện tích đáy 4a² và chiều cao a. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a.
A. V = 4a³
B. V = a³
C. V = 2a²
D. 1/2a²
Hướng dẫn giải: Đáp án A
Câu 6: Một bát diện đều với các mặt bên là gì?
A. Tam giác đều
B. Hình vuông
C. Hình chữ nhật
D. Tam giác cân
Hướng dẫn giải: Đáp án A
5.2. Bài tập tự luận:
Bài tập 1: Xét một lăng trụ có đáy là tam giác vuông. Biết hai cạnh góc vuông lần lượt là 6 và 7, chiều cao của lăng trụ bằng 8. Tính thể tích của lăng trụ.
Hướng dẫn giải:
Diện tích đáy của tam giác lăng trụ là: S = ( 6. 7 )/2 = 21
Thể tích của khối lăng trụ đó là: V = S. h = 21,8 =168.
Kết luận: Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là 168
Bài tập 2: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng 10. Biết rằng chiều cao AA’ của lăng trụ bằng 5. Tính thể tích của lăng trụ.
Hướng dẫn giải:
Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
Vì tam giác ABC là tam giác đều nên H trở thành trung điểm của BC.
=> BH = CH = BC / 2 = 10/2 = 5
Vì tam giác ABH vuông tại H nên theo định lí Pitago ta có: AH = 5√75
Diện tích đáy của lăng trụ là: SABC = ( AH.BC )/2 = 5√(75)
Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều là: V = S. h = SABC. AH = 5√75. √75 = 375.
Kết luận: Vậy thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ là 375
bài tập 3: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông có các góc vuông lần lượt là 3 và 6. Thể tích của khối lăng trụ là 72. Tính chiều cao của khối lăng trụ.
Hướng dẫn giải:
Diện tích đáy của lăng trụ là: S = ( 3. 6 )/2 = 9
Chiều cao của lăng trụ đó là: h = V/ S = 72/9 = 8
Kết luận: Hình lăng trụ đã cho có chiều cao bằng 8
Bài tập 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, AH là đường cao. Cho lăng trụ đứng có thể tích và chiều cao lần lượt là 80 và 5. Tính chiều cao AH của tam giác đều ABC.
Hướng dẫn giải:
Theo đề bài ta có:
Diện tích tam giác ABC là: SABC = V/h = 90/3 = 30
Vì tam giác ABC là tam giác đều, AH là đường cao nên H là trung điểm BC.
Cho tam giác đều ABC có cạnh a.
=> BH = CH = 1/2BC = a/2
Vì tam giác ABH vuông tại H nên theo định lí Pitago ta có: AH = a√(3/4)
Ta có: SABC = (AH. BC)/2 = 30 => AH. TCN = 60 <=> a√(3/4). một = 60
=> a = 80 => AH = 60
Kết luận: Vậy tam giác ABC có chiều cao AH bằng 60
Bài tập 5: Xét lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC. AH là đường cao của tam giác ABC. Biết AH bằng 3, BC bằng 4 và thể tích của lăng trụ bằng 42. Tính chiều cao của lăng trụ.
Hướng dẫn giải:
Diện tích tam giác ABC là: SABC = ( AH. BC ) / 2 = ( 3. 4 ) / 2 = 6
Chiều cao của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là: h = V/ SABC = 42/6 = 7
Kết luận: Vậy chiều cao của hình trụ đã cho là 7
Bài tập 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết AB bằng 4, thể tích và chiều cao của lăng trụ lần lượt là 36 và 6. Tính cạnh AC.
Hướng dẫn giải:
Diện tích đáy tam giác ABC là: SABC = V/h = 36/6 = 6
Vì tam giác ABC vuông tại A và diện tích tam giác bằng 6 nên ta có:
SABC = ( AB. AC )/2 = 6 => AC = 12/ AB = 12/4 = 3
Kết luận: Vậy cạnh AC của tam giác ABC là 3
Bài tập 7: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ trong đó AH là đường cao của đáy tam giác ABC. Biết cạnh AH bằng 3, cạnh BC bằng 4 và thể tích của khối lăng trụ đã cho là 24. Tính chiều cao của lăng trụ đã cho và cạnh BC’.
Hướng dẫn giải:
Diện tích đáy của lăng trụ đã cho là: SABC = ( 3. 4 )/2 = 6
Chiều cao của lăng trụ đã cho là: h = V/ SABC = 24/6 = 4 => AA’ = BB’ = CC’ = 4
Vì tam giác BCC’ vuông cân tại C nên theo định lý Pitago ta có: (BC’)2 = (BC)2 + (CC’)2 = 32 BC’ = √(32)
Kết luận: Vậy chiều cao lăng trụ đã cho là 4 và cạnh BC’ là √(32)
Bài tập 8: Một lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh là 5. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là bao nhiêu?
Trả lời:
Áp dụng công thức: V = a2 x 3/4 xh
Khi bài toán cho tất cả các cạnh đều bằng 3, nghĩa là chiều cao h cũng bằng 3. Hãy nhớ trong tính chất của lăng trụ tam giác đều, chiều cao của lăng trụ bằng độ dài cạnh.
Do đó Thể tích: V = 52 x 3/4 x 5 = (125√3)/4
bài tập 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC cạnh a và chu vi mặt bên ABB’A’ bằng 6a . Thể tích của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là bao nhiêu?
Trả lời:
Ta cần hiểu bài toán này cần cộng chiều cao h để tính thể tích V.
Vì chu vi của mặt bên ABB’A’ là 6a nên theo tính chất của lăng trụ đứng tam giác đều ta có:
2 x (a + h) = 6a → h = 2a
Vậy áp dụng công thức thể tích V = a2 x 3/4 xh = a3 x 3/2
Bài tập 10: Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh là 5. Diện tích xung quanh của lăng trụ đã cho là bao nhiêu?
Trả lời:
Áp dụng công thức: Stp = Sxq + 2 x Sd = 3 xaxh + 2 x (√3)/4 x a2
Ở đây khi các cạnh là 5 thì chiều cao h = 5.
Vậy Stp = 3 x a2 + 2 x (√3)/4 x a2 = (3 + 2(√3)/4) x a2
