Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11. Mời các bạn đọc theo dõi bài viết dưới đây về những kiến thức của Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
1. Hoán vị là gì?
Trong toán học, hoán vị liên quan đến hành động sắp xếp tất cả các phần tử của một tập hợp thành một dãy hoặc trật tự nào đó. Nói cách khác, nếu tập hợp đã được sắp xếp, thì việc sắp xếp lại các phần tử của nó được gọi là quá trình hoán vị. Hoán vị xảy ra, theo những cách ít nhiều nổi bật, trong hầu hết mọi lĩnh vực toán học. Chúng thường phát sinh khi xem xét các thứ tự khác nhau trên các tập hợp hữu hạn nhất định.
2. Công thức hoán vị:
Công thức hoán vị n đối tượng để chọn r đối tượng được cho bởi: P(n,r) = n!/(nr)!
Ví dụ: số cách trao vị trí thứ 3 và thứ 4 cho 10 thành viên là: P(10, 2) = 10!/(10-2)! = 10!/8! = (10.9.8!)/8! = 10 x 9 = 90
3. Các loại hoán vị:
Hoán vị có thể được phân loại thành ba loại khác nhau:
Thứ nhất, Hoán vị của n đối tượng khác nhau;
Thứ hai, Hoán vị khi cho phép lặp lại;
Thứ ba, Hoán vị của nhiều bộ
3.1. Hoán vị của n đối tượng khác nhau:
Nếu n là một số nguyên dương và r là một số nguyên, sao cho r < n, thì P(n, r) đại diện cho số lượng của tất cả các cách sắp xếp hoặc hoán vị có thể có của n đối tượng riêng biệt được lấy r tại một thời điểm. Trong trường hợp hoán vị không lặp lại, số lượng các lựa chọn có sẵn sẽ giảm đi mỗi lần. Nó cũng có thể được biểu diễn dưới dạng: n P r .
P(n, r) = n(n-1)(n-2)(n-3)……..tối đa r thừa số
P(n, r) = n(n-1)(n-2)(n-3)……..(n – r +1)
⇒P(N,r)=N! / (N-r)!
Ở đây, “ n P r ” đại diện cho các đối tượng “n” được chọn từ các đối tượng “r” mà không cần lặp lại, trong đó thứ tự quan trọng.
Ví dụ: Có bao nhiêu từ 3 chữ cái có nghĩa hoặc không có nghĩa có thể được tạo thành từ các chữ cái của từ SWING khi không cho phép lặp lại các chữ cái?
Giải: Ở đây n = 5, vì từ SWING có 5 chữ cái. Vì chúng ta phải sắp xếp 3 từ có nghĩa hoặc không có nghĩa và không lặp lại, do đó tổng số hoán vị có thể là
⇒P(N,r)=5! / (5-3)!= (5×4×3×2×1) / (2×1)=60
3.2. Hoán vị khi cho phép lặp lại:
Chúng ta có thể dễ dàng tính toán hoán vị với sự lặp lại. Hoán vị với sự lặp lại của các đối tượng có thể được viết bằng cách sử dụng dạng số mũ.
Khi số lượng đối tượng là “n” và chúng ta có “r” là đối tượng được chọn, thì;
Chọn một đối tượng có thể theo n cách khác nhau (mỗi lần).
Do đó, hoán vị của các đối tượng khi được phép lặp lại sẽ bằng,
n × n × n × ……(r lần) = n r
Đây là công thức hoán vị để tính số lượng hoán vị khả thi cho việc lựa chọn các mục “r” từ các đối tượng “n” khi cho phép lặp lại.
Ví dụ: Có bao nhiêu từ 3 chữ cái có hoặc không có nghĩa có thể được tạo thành từ các chữ cái của từ SMOKE khi cho phép lặp lại các từ?
Dung dịch:
Số đối tượng, trong trường hợp này, là 5, vì từ KHÓI có 5 bảng chữ cái.
và r = 3, vì phải chọn từ có 3 chữ cái.
Do đó, hoán vị sẽ là:
Hoán vị (khi cho phép lặp lại) = 5 3 = 125
3.3. Hoán vị của nhiều bộ:
Hoán vị n đối tượng khác nhau khi P 1 đối tượng trong số ‘ n ‘ đối tượng giống nhau, P 2 đối tượng loại 2 giống nhau, P 3 đối tượng loại 3 giống nhau ……… và cứ thế, P k đối tượng loại k giống nhau và phần còn lại của tất cả là của một loại khác nhau,
Do đó, nó tạo thành một tập hợp nhiều tập hợp, trong đó hoán vị được đưa ra là:
N!/ (P1!P2!P3…..PN!)
4. Tổ hợp là gì?
Tổ hợp là một cách chọn các mục từ một bộ sưu tập, sao cho (không giống như hoán vị) thứ tự lựa chọn không quan trọng . Trong những trường hợp nhỏ hơn, có thể đếm số lượng kết hợp. Tổ hợp đề cập đến sự kết hợp của n thứ được thực hiện k tại một thời điểm mà không lặp lại. Để chỉ các tổ hợp trong đó phép lặp được phép, thuật ngữ lựa chọn k hoặc tổ hợp k có lặp lại thường được sử dụng.
5. Công thức tổ hợp:
Về mặt toán học, công thức xác định số cách sắp xếp có thể bằng cách chỉ chọn một vài đối tượng từ một tập hợp không có sự lặp lại được thể hiện như sau:
Ở đây:
- n – tổng số phần tử trong một tập hợp
- k – số đối tượng được chọn (thứ tự các đối tượng không quan trọng)
- ! – yếu tố
Giai thừa (được ký hiệu là “!”) là tích của tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng số đứng trước dấu giai thừa. Ví dụ, 3! = 1 x 2 x 3 = 6.
Lưu ý rằng công thức trên chỉ có thể được sử dụng khi các đối tượng từ một tập hợp được chọn mà không lặp lại.
6. Ví dụ về tổ hợp:
Bạn là nhà quản lý danh mục đầu tư trong một quỹ phòng hộ nhỏ . Bạn đã
Vì đây là quỹ mới nên bạn đã quyết định đưa năm cổ phiếu có tỷ trọng bằng nhau vào danh mục đầu tư ban đầu và sau một năm, bạn sẽ xem xét hiệu suất của danh mục đầu tư và thêm cổ phiếu mới nếu hoạt động của quỹ thành công. Hiện tại, bạn muốn xác định số lượng danh mục đầu tư khả thi mà bạn có thể tạo từ các cổ phiếu được các nhà phân tích của bạn xác định.
Việc
Do đó, bạn có thể sử dụng công thức kết hợp để tính số cách sắp xếp có thể:
Có 15.504 danh mục đầu tư có thể có của năm cổ phiếu có thể được tạo ra từ 20 cổ phiếu lọt vào danh sách.
7. Chỉnh hợp:
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ gồm k (1 <= k <= n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp A.
Công thức chỉnh hợp:
Kí hiệu chỉnh hợp chập k của n phần tử:
Ví dụ về chỉnh hợp:
Hỏi: Có bao nhiêu cách xếp ba học sinh Lan, Tuyết, Ánh vào hai chỗ ngồi cho trước?
Đáp: cách.
Như vậy có 6 cách xếp ba học sinh Lan, Tuyết, Ánh vào hai chỗ ngồi cho trước.
8. Một số bài tập:
Bài tập 1: Cách tính số tổ hợp và số hoán vị nếu n = 14 và r = 3
Các phương pháp hoán vị và tổ hợp lớp 11:
Theo câu hỏi, n = 14
r = 3
Bằng cách rút ra công thức hoán vị-
n P r = (n!)/(nr)! = 14! / (14 – 3)! = 14! /11! = (14 X 13 X 12 X 11!) / 11! = 2184
Bây giờ, từ công thức kết hợp-
n C r = ( n r ) = n P r / r! = n! /{r! (số)!} = 14! /3! (14 – 3)! = 14! /3! (11!) = 14 X 13 X 12 X 11! /2! X11! =1092
Bài tập 2:
(1) Từ 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số
(2) Với sự lặp lại?
(3) Không có sự lặp lại?
Giải pháp tổ hợp và hoán vị lớp 11 :
Vì sẽ có một số có 4 chữ số nên gọi chữ số đó là ABCD. Ở đây, D là vị trí hàng đơn vị, C là vị trí thứ 10 , B là vị trí thứ 100 và A là vị trí hàng nghìn.
– Bây giờ, với sự lặp lại, tại vị trí của D, các số có thể có của chữ số là 4. Ngoài ra, tại vị trí của A, B và C, số chữ số có thể xảy ra là 5.
Vì vậy, tổng số có thể có 4 chữ số là 4 X 4 X 4 X 4 = 256
– Số chữ số có thể có ở vị trí của D là 4; do đó nó là vị trí đơn vị. Hiện nay,
Nếu không lặp lại, một chữ số được chiếm tại D. Vì vậy, đối với vị trí C, chữ số có thể sẽ là 3 và sẽ có 2 chữ số có thể cho B và 1 cho A.
Do đó, tổng số có thể có 4 chữ số không lặp lại là 4 X 3 X 2 X 1 = 24.
Bài tập 3:
Có bao nhiêu cách chọn 2 chữ cái từ tập hợp các chữ cái: X, Y, Z? (Gợi ý: Trong vấn đề này, thứ tự KHÔNG quan trọng; tức là, XY được coi là cùng một lựa chọn với YX.)
Giải pháp: Một cách để giải quyết vấn đề này là liệt kê tất cả các lựa chọn có thể có của 2 chữ cái từ bộ X, Y và Z. Đó là: XY, XZ và YZ. Vì vậy, có 3 kết hợp có thể.
Một cách tiếp cận khác là sử dụng Quy tắc :
Số cách kết hợp của n đối tượng lấy r tại một thời điểm là
n C r = n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1)/r! = n! / r!(n – r)!
Quy tắc trên cho chúng ta biết rằng số lượng kết hợp là n! / r!(n – r)!. Chúng ta có 3 đối tượng riêng biệt nên n = 3. Và chúng ta muốn sắp xếp chúng theo nhóm 2, vì vậy r = 2. Do đó, số lượng kết hợp là:
3 C 2 = 3! / 2!(3 – 2)! = 3! /2!1! = (3)(2)(1)/(2)(1)(1) = 3
