Vector là một kiến thức quan trọng được giảng dạy trong bộ môn toán học lớp 10. Là kiến thức nền gốc cho giải các bài toán từ dễ đến nâng cao, các bạn phải nắm vững lý thuyết và giải bài tập tổng và hiệu của hai vectơ chi tiết.
1. Lý thuyết về tổng và hiệu hai vector:
Vector là một trong những bài học quan trọng của kiến thức toán học lớp 10. Là kiến thức nền tảng cho hình học không gian sau này, các bạn cần nắm vững kiến thức toán vector để có một nền tảng vững chắc.
1.1. Vector là gì?
Vector là một đại lượng quen thuộc trong toán học, vật lý học và kỹ thuật đã được các nhà thiên văn học sử dụng trước đó khi khảo sát về chuyển động của các hành tinh quanh mặt trời từ rất lâu về trước. Sau đó được phát triển và hoàn thiện bởi Willard Gibbs J. -W. (1839 – 1903) trong công trình Cơ sở giải tích vectơ và được áp dụng vào toán học sử dụng cho đến ngày nay.
Vector là một từ ngữ Latinh, nó có nghĩa là mang đi, mang theo ý chỉ về các vận tốc, tốc độ và di chuyển. Vector được sử dụng để biểu diễn các đại lượng có hướng.
Theo định nghĩa trong sách giáo khoa Toán lớp 10, vector là một đoạn thẳng có hướng. Tức tà một đoạn thẳng có điểm bắt đầu và có thể có hoặc không có điểm kết thúc.
Ví dụ đơn giản để hiểu hơn về vector như:
Vector AB thì có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
Vector BA thì có điểm đầu là B và điểm cuối là A.
Vector n, có điểm đầu là điểm bắt đầu và không có điểm cuối.
Từ đó tạo lên các loại vector cùng hướng, vector ngược hướng, vector vuông góc, vector cùng phương…
Vector cùng phương là các vector có giá trùng nhau hoặc giá của chúng song song với nhau. Ví dụ vector AB cùng phương với vector CD khi AB và CD song song với nhau.
Vector cùng hướng là các vector có cùng phương và có chung hướng đi với nhau. Ví dụ vector AB cùng hướng với vector AC khi ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Vector ngược hướng là các vector có cùng phương và đi ngược hướng nhau. Ví dụ vector AB ngược hướng vector AC khi ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm A nằm giữa hai điểm B và C.
Vector bằng nhau là các vector cùng hướng và có độ dài bằng nhau. Ví dụ vector AB bằng vector BC khi 3 điểm cùng trên một đường thẳng và độ dài AB bằng BC.
Hai vector đối nhau là hai vector có cùng độ dài và ngược hướng nhau. Ví dụ vector AB và vector AC đối nhau khi 3 điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng, có A nằm giữa hai điểm B, C và độ dài AC bằng AB.
Vector không là một vector đặc biệt, loại vector này có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
Biết và hiểu về các loại vector này sẽ giúp bạn dễ dàng áp dụng làm vào bài tập vector một cách dễ dàng. Đây cũng là tiền đề phát triển để sau này trở thành một phương thức giải các bài tập hình học không gian một cách tiện lợi, dễ dàng.
1.2. Tổng và hiệu của hai vector:
Tổng và hiệu của hai vector là một kiến thức vô cùng quan trọng trong bài học về vector. Nó là tiền đề được sử dụng rất nhiều trong các bài toán vector.
Tổng và hiệu của hai vector được định nghĩa như sau:
Với ba điểm bất kỳ A, B, C. Vector AC được gọi là tổng của hai vector AB và BC. Hiệu của hai vector được tính là tổng của vector này với vector đối của vector kia. Ví dụ với 3 điểm A, B, C bất kỳ, vector AB là tổng của 2 vector AC và vector (-BC) hay còn được gọi là hiệu của vector AC và vector BC. Khi tính, vector AB sẽ bằng vector AC cộng vector (-BC), tức là vector AB bằng vector AC cộng vector CB.
Ký hiệu:
Tổng hai vector: vector a = vector b + vector c
Hiệu hai vector: vector a = vector b – vector c = vector b + (- vector c)
Tính chất của tổng hai vector bao gồm:
Cho 3 vector: vector a, vector b, vector c tùy ý. Ta có:
– Tính chất giao hoán: vector a + vector b = vector b + vector a
– Tính chất kết hợp: (vector a + vector b) + vector c = vector a + (vector b + vector c)
– Tính chất vector 0: vector a + vector 0 = vector 0 + vector a = vector a
– Quy tắc hình bình hành ta có: Vector AB + vector AD = Vector AC với ABCD là hình bình hành có đường chéo AC và BD.
Ví dụ: Vector AB cộng vector BC bằng vector AC, vector AB trừ vector CB bằng vector AB cộng vector BC bằng vector AC.
Chỉ từ hai loại tổng và hiệu vector đã cho ra nhiều loại bài tập áp dụng tổng và hiệu vector mang đến nhiều kiến thức bổ ích cho học sinh, là tiền đề kiến thức để giải các bài tập toán hình và đại số từ đơn giản đến nâng cao sau này.
Ngoài tổng và hiệu của hai vector, ta còn có tích của vector với một số với các tính chất bắt buộc phải nhớ để có thể dễ dàng làm các dạng bài tập về vector như:
– k( vector a + vector b) = k. vector a + k. vector b
– (h + k). vector a = h. vector a + k. vector a
– h. (k. vector a) = hk. vector a
– Quy tắc trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác:
Ta có I là trung điểm AB, với mọi M => vector MA + vector MB = 2. vector MI
Ta có G là trọng tâm tam giác ABC, với mọi M => vector GA + vector GB + vector GC = 3. vector MG.
Chỉ với những tính chất này, chúng ta có thể dễ dàng áp dụng vào các bài tập vector một cách dễ dàng và hiệu quả.
2. Áp dụng vector:
Vector được ứng dụng trong toán học với các bài tập từ đơn giản đến phức tạp.
Thứ nhất, vector trong mặt phẳng được ứng dụng để giải các bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng một cách dễ dàng hơn.
Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có bán kính R. Các đường thẳng song song với nhau qua A, B và C cắt đường tròn tại A1, B1, và C1. Chứng minh các trọng tâm của tam giác ABC1, tam giác BCA1, VÀ CAB1 thẳng hàng.
Thứ hai, vector cũng được sử dụng để giải các bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Ví dụ: Chó tứ giác ABCD có các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác OAB và tam giác OCD. Chứng minh HK và IJ vuông góc với nhau.
Thứ ba, vector được áp dụng trong các bài toàn tìm tập hợp điểm.
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD, tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = K2 với K là hệ số thực cho trước.
Thứ tư, vector áp dụng trong các bài toán chứng minh đẳng thức, chứng minh tính chất hình học và tính toán.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, đặt AB bằng c, AC bằng b, CB bằng a. Gọi I là tâm đường trón nội tiếp của tam giác. Chứng minh: IA2 / bc + IB2 / ac + IC2 / ab = 1
Thứ năm, vector sử dụng trong dạng toán chứng minh bất đẳng thức và cực trị trong hình học.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với AB bằng c, AC bằng b, CB bằng a. Chứng minh với mọi điểm M ta có aMA2 + bMB2 +cMC2 ≥ abc.
Thứ sáu, vector sử dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số.
Ví dụ: Cho x, y, z lớn hơn 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:
√(x2 + xy + y2 ) + √(y2 + zy + z2 ) + √(x2 + xz + z2 ) ≥ (x + y + z)*√3
Thứ bảy, vector được ứng dụng giải quyết các bài toán hệ thức lượng trong tam giác
Ví dụ: Cho tam giác ABC, chứng minh với mọi a, b, c thuộc R, ta có:
x2 + y2 + z2 ≥ 2xycosC + 2yzcosA + 2xzcosC
Vector còn được sử dụng trong vật lý với sự biểu diễn vận tốc, tốc độ và hướng. Ngoài ra, vector còn được sử dụng với mục đích đóng vai trò minh họa trực quan cho các đặc trưng của lực.
Đặc biệt, trong đời sống thực tế, vector còn được sử dụng trong đồ họa và thiết kế. Trong đồ họa máy tính người ta gọi đó là vector đồ họa. Tức là sử dụng các tọa độ trên mặt phẳng hai chiều để biểu thị hình ảnh giúp hình ảnh tạo ra được đảm bảo chất lượng tốt nhất, có thể kéo phóng to nhỏ mà không bị vỡ ảnh.
Như vậy, vector là một sản phẩm toán học vô cùng quan trọng không chỉ trong các bài tập toán học, vật lý trên trường mà còn được ứng dụng quan trọng trong thực tế.
3. Bài tập vector:
3.1. Dạng bài tập lý thuyết
Bài 1: Cho hai điểm A và B, có bao nhiêu vector được tạo thành từ hai điểm trên?
A. 1 vector
B. 2 vector
C. 3 vector
D. Vô số vector
Bài 2: Thế nào là hai vector bằng nhau?
A. Là hai vector có cùng hướng, cùng độ dài
B. Là hai vector có cùng độ dài, ngược hướng
C. Là hai vector ngược hướng
D. Là hai vector cùng độ dài
3.2. Dạng bài tập tổng hai vector
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Cạnh hình vuông có độ dài bằng a. Hãy tính vector AC.
Bài 2: Cho 4 điểm A, B, C, D. Tính các biểu thức sau:
a, A = vector AB + vector BC + vector CD
b, B = vector AC + vector AD – vector BC + vector DB
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ACB bằng 30 độ và BC = a. Tính:
a, vector AB + vector BC
b, vector CB + vector AC
