Nguyên hàm là gì? Bảng nguyên hàm và công thức nguyên hàm?

Bạn đang xem: Nguyên hàm là gì? Bảng nguyên hàm và công thức nguyên hàm? tại truongptdtntthptdienbiendong.edu.vn

Bài toán nguyên hàm là những dạng toán khó hay gặp trong các bài kiểm tra hay bài thi toán lớp 12. Dưới đây là một số phương pháp để giải dạng toán này và một số ví dụ minh họa, mời các bạn đọc cùng theo dõi.

1. Nguyên hàm là gì?

1.1. Định nghĩa:

Cho hàm số f (x ) xác định trên K . Hàm số F (x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x ) trên K nếu F’ (x ) = f (x ) với mọi x thuộc K.

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của R.

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x ) ký hiệu là ∫ f (x ) = F (x )+ C .

Chú ý: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

1.2. Định lý:

Định lý 1:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Chứng minh: Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))’ = f(x). Vì C là hằng số nên (C)’ = 0.

Ta có: (G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một nguyên hàm của f(x).

Định lý 2:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Chứng minh: Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K, tức là G'(x) = f(x), x ∈ K. Khi đó:

(G(x) – F(x))’ = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0, x ∈ K.

Vậy G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K. Ta có:

G(x) – F(x) = C ⇒ G(x) = F(x) + C, x ∈ K.

2. Tính chất của nguyên hàm:

∫ f(x) dx)’ = f(x) + C

Tính chất này được suy trực tiếp ra từ định nghĩa về nguyên hàm. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

∫ k f(x) dx=k∫ f(x) dx (với k ≠ 0)

Ta có kf(x) = F(x).

Vì k ≠ 0 nên f(x) = 1/k . F'(x) = [1/k . F(x)].

Chứng minh theo tính chất 1, ta có:

$(k \int f (x) d x)^{'} = k (\int f (x) d x)^{'} = k f (x)$ C $(k \int f (x) d x)^{'} = k (\int f (x) d x)^{'} = k f (x)$ C₁ $(k \int f (x) d x)^{'} = k (\int f (x) d x)^{'} = k f (x)$ C₁ $(k \int f (x) d x)^{'} = k (\int f (x) d x)^{'} = k f (x)$

$(k \int f (x) d x)^{'} = k (\int f (x) d x)^{'} = k f (x)$ C₁tùy ý thuộc R và k≠ 0 nên C = k. C₁tùy ý thuộc R)

$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$

Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫ g(x) dx.

Chứng minh:

– Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x).

– Tìm nguyên hàm hai vế và kết luận.

Giải:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x).

Ta có $f (x) = F^{'} (x), g (x) = G^{'} (x)$

Suy ra $\int [f (x) \pm g (x)] d x = \int [F^{'} (x) \pm G^{'} (x)] d x$

$= \int [F (x) \pm G (x)]^{'} d x = F (x) \pm G (x) + C$

Lại có $\int f (x) d x \pm \int g (x) d x = \int F^{'} (x) d x \pm \int G^{'} (x) d x = F (x) \pm G (x) + C$ .

Vậy $\int [f (x) \pm g (x)] d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$

∫ k f(x) dx=k∫ f(x) dx (với k ≠ 0) ⇒ ∫ [k. f(x) + l. g(x)] dx=k ∫ f(x) dx + l ∫ g(x) dx

3. Công thức đổi biến số:

∫ f [u(x)] u’ (x)dx = F [u(x)] + C

4. Công thức nguyên hàm từng phần:

∫ udv = uv – ∫ vdu

5. Bảng nguyên hàm:

Một số nguyên tắc tính nguyên hàm cơ bản:

– Tích của đa thức hoặc lũy thừa→khai triển.

– Tích các hàm mũ→khai triển theo công thức mũ.

– Bậc chẵn của sin hoặc cos→hạ bậc: sin²a=1/2-1/2 cos 2a;

cos²a=1/2+1/2 cos 2a

Chứa tích các căn thức của x→chuyển về lũy thừa.

6. Phương pháp giải bài toán nguyên hàm:

6.1 Phương pháp đổi biến số:

Nếu ∫ f (x) d x = F (x) + C thì ∫f [u(x)]. u’ (x) dx = F [u(x)] + C

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = ∫ f(x) dx, trong đó ta có thể phân tích hàm số đã cho f(x) = g[ u(x) ]. u'(x) thì ta thực hiện phép biến đổi biến đặt t = u(x) ⇒ dt = u'(x) dx. Khi đó, ta thấy I = ∫ g