Phương pháp giải phương trình mũ và phương trình lôgarit là
nội dung quan trọng trong chương trình Toán học. Bài viết dưới đây sẽ giúp các bạn nắm rõ phương pháp giải chi tiết liên quan đến phương trình mũ và phương trình lôgarit. Mời các bạn
tham khảo nhé.
1. Phương pháp giải Phương trình mũ:
1.1. Phương trình mũ cơ bản:
Về định nghĩa:
Nói một cách dễ hiểu, phương thức hàm mũ là một phương thức 2 ảo có chứa các biểu thức hàm mũ.
Theo định nghĩa đã học trong các bài phương trình mũ và logarit, ta có định nghĩa và dạng toán tổng quát của 12 phương trình mũ như sau:
Phương trình con có định dạng a^x=b với a,b cho trước và 0
Trong phương pháp giải phương trình ẩn phụ này, chúng ta cần biến đổi theo công thức sau để được cùng một số:
Với
ax = b (a > 0, a ≠ 1).
Phương trình trên có một nghiệm duy nhất khi b > 0 .
Phương trình trên vô nghiệm khi b ≤ 0 .
1.2. Phương pháp Biến đổi, quy về cùng cơ số:
af(x) = ag(x) ⇔ a = 1 hoặc 
.
1.3. Phương pháp Đặt ẩn phụ:
Đây là phương pháp giải phương trình mũ, logarit thường gặp trong các đề thi. Ta thường dùng 1 ẩn phụ để bước đầu biến đổi phương tiện ban đầu thành phương thức có 1 ẩn phụ. Khi sử dụng cách giải phương trình này, ta cần thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đưa phương trình về ẩn phụ thuộc mẫu Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện của ẩn phụ Bước 3: Giải phương trình với ẩn phụ mới tìm nghiệm của các điều kiện phụ bên ngoài Bước 4: Thay thế giá trị được tìm thấy trong giải pháp phần mềm cơ sở Bước 5: Kết luận
Các giải pháp phương trình logarit và tệp phương tiện thường gặp như sau:
Bước 1: Các giới hạn trong phương trình con có thể được biểu thị dưới dạng đồ thị
Lưu ý ở loại này ta cũng gặp một số bài toán là sau khi đặt ẩn phụ ta được phương trình còn chứa x. Khi đó, ta gọi đó là bài toán đặt ẩn phụ không đầy đủ.
Bước 2: Phương trình của hàm bậc
Với phương pháp giải phương trình mũ và logarit này, chúng ta sẽ chia cả hai cách nhìn của phương trình mũ cho a^nf(x) hoặc b^nf(x) trong đó n là số tự nhiên có nhiều nhất trong phương tiện truyền thông thứ cấp. Sau khi chia sẻ, chúng ta sẽ nhận được phương thức phục vụ ở định dạng 1.
Bước 3: Trong phương trình có 2 căn nghịch biến
Loại 1:
=> Đặt ẩn phụ
Loại 2:
=> Chia hai góc nhìn của phương tiện lũy thừa cho c^f (x) và đưa nó về dạng 1.
f[ag(x)] = 0 ( 0 < a ≠ 1) ⇔ 
.
Chúng Ta thường gặp các dạng như sau:
● m.a2f(x) + n.af(x) + p = 0
● m.af(x) + n.bf(x) + p = 0, trong đó a.b = 1. Đặt t = af(x). t > 0, suy ra bf(x) = 1/t.
● m.a2f(x) + n.(a.b)f(x) + p.b2f(x) = 0. Chia hai vế cho b2f(x) và đặt (a/b)f(x) = t > 0.
1.4. Phương pháp Logarit hóa:
Trong một số trường hợp, chúng ta không thể giải bài toán phương trình hàm và logarit bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc bằng cách sử dụng các ẩn số nhỏ. Sau đó, bạn cần lấy logarit ngang của 2 với cùng một cơ số thích hợp để đưa nó trở lại dạng phương tiện cơ bản. Phương pháp giải phương trình mũ và logarit này được gọi là logarit.
Dấu hiệu nhận biết bài toán phương trình áp dụng phương pháp logarit: Phương trình dạng này thường có dạng a^f(x).b^g(x).c^h(x) = d (tức là trong phương trình có các căn khác nhau và các ẩn số cũng khác nhau). Sau đó, bạn có thể lấy logarit của 2 trong cơ số a (hoặc b hoặc c).
● Phương trình 
.
● Phương trình af(x) = bg(x) ⇔ logaaf(x) = logabg(x) ⇔ f(x) = g(x).logab
hoặc logbaf(x) = logbbg(x) ⇔ f(x).logba = g(x)
1.5. Phương pháp Giải bằng phương pháp đồ thị:
Giải phương trình: ax = f(x) (0 < a ≠ 1) (*) .
Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x) . Khi đó ta thực hiện hai bước như sau:
– Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y = ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x) .
– Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.
1.6. Phương pháp Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Để sử dụng tính đơn điệu trong việc giải phương trình mũ và logarit, chúng ta cần nắm vững cách khảo sát hàm số mũ như sau:
Định nghĩa hàm con y=a^x (0
hướng biến đổi:
$a>1$: Chức năng luôn giống nhau
Tiệm cận: Trục hoành $Ox$ là tiệm cận ngang
Đồ thị: Đi qua các điểm $(0;1), (1;a)$ và nằm trên trục hoành.
Để giải phương trình mũ này, ta cần làm theo các bước sau:
Hướng 1:
• Bước 1. Chuyển đổi phương trình sang định dạng f(x)=k.
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Tính đồng biến của hàm số
• Bước 3. Nhận xét:
+ Với x=x_0 ⇔ f(x)=f(x_0)=k nên x=0 là nghiệm.
+ Với x>x_0 ⇔ f(x)>f(x_0)=k nên phương trình vô nghiệm.
+ Với x
• Bước 4. Kết luận rằng x=0 là nghiệm duy nhất của phương pháp.
Hướng 2:
• Bước 1. Chuyển đổi phương trình sang định dạng f(x)=g(x).
• Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số y=f(x) và y=g(x). Hàm chuẩn y=f(x) là hàm đồng biến và y = g(x) là hàm nghịch đảo hoặc hàm hằng.
• Bước 3. Xác định x_0 sao cho f(x_0)=g(x_0) .
• Bước 4. Kết luận như vậy x=x_0 là thực nghiệm duy nhất của phương pháp.
Hướng 3:
• Bước 1. Chuyển đổi phương trình sang định dạng f(u)=f(v)
• Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số y=f(x). Menu số không mặc định.
• Bước 3. Khi đó f(u)=f(v) ⇔ u=v.
Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a; b) thì nghiệm của phương trình f(x) = k trên (a; b) không lớn hơn một và f(u) = f(v) ⇔ u = v, ∀u, v ∈ (a; b).
Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); Nếu hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn 1.
Tính chất 3. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất đẳng thức f(u) > f(v) ⇔ u > v (hoặc u < v), ∀u ,v ∈ D .
1.7. Phương pháp Sử dụng đánh giá:
Giải phương trình f(x) = g(x).
o Nếu ta đánh giá được 
.
2. Phương pháp giải phương trình Logarit:
2.1. Phương pháp Biến đổi, quy về cùng cơ số:
Về định nghĩa:
Với cơ số dương a và khác 1, phương trình có dạng sau được gọi là phương trình cơ số logarit: log_ax=b
Ta thấy vế trái của phương trình là một hàm đơn điệu có miền giá trị là Vế phải của phương trình là một hàm hằng. Vậy phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất. Theo định nghĩa của logarit, chúng ta có thể dễ dàng suy ra kinh nghiệm đó
Với điều kiện 0
Một lưu ý nhỏ dành cho các em học sinh là trong quá trình biến đổi để tìm cách giải phương trình mũ, logarit chúng ta thường quên kiểm tra miền xác định của phương trình. Vì vậy để an toàn, ngoài phương trình logarit còn có các bài tập cơ bản về phương trình mũ và logarit, các em nên đặt điều kiện xác định cho phương trình trước khi giải.
2.2. Phương pháp Đặt ẩn phụ:
Trong cách giải phương trình logarit này, khi đặt ẩn phụ ta cần chú ý xem miền giá trị của ẩn phụ để đặt điều kiện cho ẩn phụ hay không. Ta có công thức tổng quát sau:
2.3. Phương pháp Mũ hóa hai vế:
Thực chất của công việc giải phương trình logarit cơ bản (ở trên) cũng chính là phép nhìn phụ thứ 2 với cơ số a. Trong một số trường hợp phương pháp có cả logarit và phụ thì ta có thể thử áp dụng 2 phụ khó để giải.
2.4. Phương pháp đồ thị:
Giải phương trình: log_ax=f(x) (0
Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm: y=log_ax
Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là giao điểm của đồ thị
2.5. Phương pháp Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
– Bước 2: Bạn có thể thực hiện theo một trong hai cách sau:
Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một hình chiếu là hàm đơn điệu, một hình chiếu là hằng hoặc một hình chiếu là hàm đồng biến và một hình chiếu là hàm nghịch biến.
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng f(u)=f(v) trong đó f là hàm số đơn điệu.
– Bước 3: Xét một nghiệm của phương pháp trên.
– Bước 4: Kết luận nghiệm độc đáo của phương pháp.
3. Các dạng bài tập phương trình mũ và logarit thường gặp:
Câu 1. Phương trình 
có nghiệm là bao nhiêu:
A. x = log23 . B. x = log32. C. x = log43. D. x = log34.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có 
Câu 2. Nghiệm của phương trình 12.3x + 3.15x – 5x+1 = 20 là đáp án nào sau đây:
A. x = log35 – 1. B. x = log35.
C. x = log35 + 1. D. x = log53 – 1.
Hướng dẫn giải
12.3x + 3.15x – 5x+1 = 20 ⇔ 3.3x(5x + 4) – 5(5x + 4) = 0 ⇔ (5x + 4)(3x+1 – 5) = 0
⇔ 3x+1 = 5 ⇔ x = log35 – 1
Chọn A.
Câu 3. Nghiệm của phương trình 2x + 2x+1 = 3x + 3x+1 là đáp án nào sau đây:
A. 
B. x = 1 . C. x = 0 . D. 
Hướng dẫn giải
2x + 2x+1 = 3x + 3x+1 ⇔ 3.2x = 4.3x ⇔ 
Chọn A.
