Những kiến thức về công thức lượng giác đã được đề cập trong chương trình toán học phổ thông. Cùng ôn lại cách tính đạo hàm của sin cos tan cotan sec csc và một số kiến thức về lượng giác.
1. Sec X là gì?
“Sec” trong toán học là từ viết tắt của “secant”. Hàm secant được định nghĩa là giá trị nghịch đảo của hàm cosine. Trong giải tích, sec là một hàm được học sinh, sinh viên được sử dụng để tính giá trị của hàm secant.
Về giá trị sec của góc 0 độ, Secant của góc 0 độ được viết là trong hệ thống Sexagesimal và giá trị chính xác của secant của góc 0 độ là bằng 1 (một).
Giá trị của cosine (cos) trong tam giác được tính bằng cách lấy cạnh kề với góc cần tính chia cho cạnh huyền của tam giác. Tỷ lệ secant là nghịch đảo của tỷ số cosin.
Từ đó, ta có công thức: sec X = 1/cos X
2. Cách tính đạo hàm của sin cos tan cot sec csc:
Sin, cos, tan, cot, sec, csc là các ký tự toán học. Được sử dụng trong các công thức tính lượng giác và đạo hàm.
sin: là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền của góc
cos: là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền của góc
tan: là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc
cot: là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc
Công thức cụ thể như sau:
– Sin= đối/ huyền
– Cos= kề/ huyền
– Tan= đối/ kề
– Cot= kề/ huyền
– Sec= 1/cos
– Csc= 1/sin
Để quá trình giải các bài toán đạo hàm được đơn giản và nhanh chóng hơn. Sau đây là các đạo hàm của sáu hàm số lượng giác bạn nhất định phải ghi nhớ.
Đạo hàm của các hàm số lượng giác cơ bản cần ghi nhớ:
– Đạo hàm của sin(x) là bằng cos(x)
– Đạo hàm của cos(x) là bằng – sin(x)
– Đạo hàm của tan(x) là bằng sec 2 (x)
– Đạo hàm của cot(x) là bằng – csc 2 (x)
– Đạo hàm của sec(x) là bằng sec(x) x tan(x)
– Đạo hàm của csc(x) là bằng – csc(x) x cot(x)
3. Thần chú ghi nhớ công thức lượng giác:
Để dễ dàng hơn trong vệc ghi nhớ, người Việt có mẹ nhớ nhanh rất độc đáo, đây cũng có thể là một cách học thuộc vẹt cực hay và dễ nhớ qua câu tựa vè:
Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn
Ngoài ra còn có những thần chú công thức lượng giác cũng rất đặc biệt như sau:
“Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan”.
“Cosin của 2 góc đối bằng nhau; sin của 2 góc bù nhau thì bằng nhau; phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia; tan của 2 góc hơn kém pi thì bằng nhau”.
Thần chú đối với các công thức lượng giác cơ bản:
“Bắt được quả tang
Sin nằm trên cos (tan@ = sin@:cos@)
Cotang dại dột
Bị cos đè cho. (cot@ = cos@:sin@)”
Hoặc
“Bắt được quả tang
Sin nằm trên cos
Côtang cãi lại
Cos nằm trên sin!”.
4. Các kiến thức bổ sung về lượng giác:
4.1. Nguồn gốc của lượng giác:
Nguồn gốc của lượng giác được tìm thấy trong các nền văn minh của người Ai Cập, Babylon và nền văn minh lưu vực sông Ấn cổ đại từ trên 3000 năm trước. Những người tiên phong trong việc sử dụng tính toán các ẩn số đại số để sử dụng trong các tính toán thiên văn bằng lượng giác là những nhà toán học Ấn Độ cổ đại. Nhà toán học Lagadha là nhà toán học duy nhất mà ngày nay người ta biết đã sử dụng hình học và lượng giác trong tính toán thiên văn học trong cuốn sách của ông Vedanga Jyotisha, tuy nhiên điều đáng buồn phần lớn các công trình của ông đã bị tiêu hủy khi Ấn Độ bị người nước ngoài xâm lược.
Tuy nhiên, bên cạnh nhà toán học Lagadha, nhiều nhà toán học khác cũng đã để lại những di sản quan trọng về lượng giác, có thể kể đến:
– Nhà toán học Hy Lạp Hipparchus đã biên soạn bảng lượng giác để giải các tam giác vào khoảng năm 150 TCN.
– Nhà toán học Hy Lạp Ptolemy đã phát triển các tính toán lượng giác xa hơn nữa vào khoảng những năm 100.
– Nhà toán học người Silesia Bartholemaeus Pitiscus đã xuất bản công trình có ảnh hưởng tới lượng giác năm 1595 cũng như giới thiệu thuật ngữ này sang tiếng Anh lẫn tiếng Pháp.
Một số nhà toán học cho rằng lượng giác nguyên thủy được nghĩ ra để tính toán các đồng hồ mặt trời, đây cũng được coi là một bài tập truyền thống trong các cuốn sách cổ về toán học. Bên cạnh đó, lượng giác cũng rất quan trọng trong đo đạc.
Ngày nay, công cuộc nghiên cứu về lượng giác vẫn đang được các nhà khoa học kế thừa và phát triển, điển hình như tiến sĩ Norman Wildberger ở trường đại học tổng hợp New South Wales nghĩ ra mô hình hiện đại trừu tượng hóa của lượng giác – lượng giác hữu tỉ, bao gồm các khái niệm “bình phương sin của góc” và “bình phương khoảng cách” thay vì góc và độ dài.
4.2. Ứng dụng của lượng giác trong các lĩnh vực và đời sống:
Trong thiên văn, lượng giác có ứng dụng nhiều trong những phép đo đạc tam giác nhằm sử dụng để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần.
Trong địa lý, lượng giác được sử dụng để đo khoảng cách giữa các mốc giới hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh.
Một số lĩnh vực ứng dụng lượng giác khác như thiên văn, lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê, lý thuyết số (và vì thế là mật mã học), địa chấn học, khí tượng học, hải dương học và nhiều lĩnh vực của vật lý, sinh học, chiếu chụp y học (các loại chụp cắt lớp và siêu âm), dược khoa, hóa học, đo đạc đất đai và địa hình, kiến trúc, ngữ âm học, kinh tế học, khoa công trình về điện, cơ khí, xây dựng, đồ họa máy tính, bản đồ học, tinh thể học v.v.
Có thể thấy lượng giác được là công thức quan trọng trong các lĩnh vực, khoa học và được sử dụng một cách đa dạng ở ngày nay.
4.3. Cách xác định và các yếu tố có trong định nghĩa về lượng giác:
Định nghĩa về hai tam giác đồng dạng dựa trên việc một trong hai tam giác có thể thu được nhờ việc mở rộng (hay thu hẹp) cùng lúc tất cả các cạnh tam giác kia theo cùng tỷ lệ. Định nghĩa này diễn ra khi và chỉ khi các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau, ví dụ hai tam giác khi xếp lên nhau thì có góc bằng nhau và cạnh đối của góc đã cho song song với nhau. Hai yếu tố quyết định về sự đồng dạng của tam giác là các góc tương ứng của hai tam giác phải bằng nhau hoặc độ dài các cạnh của hai tam giác tỷ lệ thuận với nhau.
Điều đó có nghĩa là khi hai tam giác được coi là đồng dạng và cạnh ngắn nhất của một tam giác lớn gấp 3 lần cạnh ngắn nhất của tam giác kia thì cạnh dài nhất của tam giác thứ nhất cũng lớn gấp 3 lần so với cạnh dài nhất của tam giác thứ hai và tương tự như vậy cho cặp cạnh còn lại của hai tam giác. Cạnh dài nhất của bất kỳ tam giác nào cũng sẽ là cạnh đối của góc lớn nhất.
Từ những điều trên, khi người ta định nghĩa các hàm lượng giác, người ta thường dựa vào tam giác vuông, là tam giác có một góc bằng 90 độ hay π/2 radian), tức tam giác có một góc vuông.
Do tổng các góc trong một tam giác là 180 ° hay còn gọi là π radian, nên góc lớn nhất của tam giác vuông là góc vuông. Cạnh dài nhất của tam giác như thế sẽ là cạnh huyền hay cũng chính là cạnh đối của góc vuông.
Lấy 2 tam giác vuông có chung nhau một góc thứ hai A. Các tam giác này là đồng dạng, vì thế tỷ lệ của cạnh đối, b, của góc A so với cạnh huyền, h, là như nhau cho cả hai tam giác. Nó sẽ là một số nằm trong khoảng từ 0 tới 1 và nó chỉ phụ thuộc vào chính góc A. Người ta gọi nó là sin của góc A và viết nó là sin (A) hay sin A. Tương tự như vậy, người ta cũng định nghĩa cosin của góc A như là tỷ lệ của cạnh kề, a, của góc A so với cạnh huyền, h, và viết nó là cos (A) hay cos A.
Dưới đây là những hàm số quan trọng nhất trong lượng giác. Các hàm số khác có thể được định nghĩa theo cách lấy tỷ lệ của các cạnh còn lại của tam giác vuông nhưng chúng có thể biểu diễn được theo sin và cosin. Đó là các hàm số như tang, sec (sin), cotang (cot) và cosec (cos).
Các hàm lượng giác đã được định nghĩa cho các góc nằm trong khoảng từ 0 tới 90 độ (0 tới π/2 radian). Sử dụng khái niệm vectơ cho đường tròn đơn vị, người ta có thể mở rộng chúng để có các đối số âm và dương.
Khi các hàm sin và cosin đã được lập thành bảng (hoặc tính toán bằng máy tính hay máy tính tay) thì người ta có thể trả lời gần như mọi câu hỏi về các tam giác bất kỳ, sử dụng các quy tắc sin hay quy tắc cosin. Các quy tắc này có thể được sử dụng để tính toán các cạnh và góc còn lại của tam giác bất kỳ khi biết một trong ba yếu tố sau:
– Độ lớn của hai cạnh và góc kề của chúng
– Độ lớn của một cạnh và hai góc
– Độ lớn của cả 3 cạnh.
