Chính phương vuông góc giúp học sinh bước đầu làm quen với chương trình toán THCS. Tìm hiểu về định nghĩa, tính chất, dấu của số chính phương sẽ giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản của chương trình toán THCS.
1. Thế nào là một hình vuông hoàn hảo?
Một số chính phương hoàn hảo là một số nguyên dương bằng bình phương của một số nguyên. n là số chính phương thì: n=k2 (k thuộc Z)
Hay hiểu theo cách khác: Số chính phương là một số tự nhiên mà căn bậc hai của nó cũng là một số tự nhiên.
Số bình phương còn được gọi là số bình phương. Hình vuông biểu thị diện tích hình vuông có độ dài cạnh bằng số tự nhiên.
Ví dụ: Số 9 là số chính phương vì bình phương của 3 là 9.
2. Tính chất của số chính phương:
– Tận cùng của một số chính phương là 0, 1, 4, 5, 6, 9. Nếu số có tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 thì không gọi là số chính phương.
– Chính phương chỉ có 1 trong 2 dạng: 4n hoặc 4n + 1, không có chính phương dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (với n € N)
Ví dụ: Giả sử với n = 2, bình phương có dạng 4n = 4 x 2 = 8 hoặc n = 5 thì bình phương có dạng 4 x 5 + 1 = 21
Không thể ở dạng 4 x 2 + 2 = 10 hoặc 4 x 2 + 3 = 11.
– Một số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng: 3n hoặc 3n + 1, không có số chính phương dạng 3n + 2 (với n € N).
– Đối với số chính phương chỉ có tận cùng là 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Ví dụ: Hình vuông 81 (hình vuông của 9 )
– Nếu bình phương có tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2
Ví dụ: Bình phương 25 (bình phương 5)
Nếu bình phương có tận cùng là 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Ví dụ: Bình phương của 64 (bình phương của 8)
– Bình phương của cùng một số bằng 6 nên chữ số hàng chục là chữ số lẻ
Ví dụ: Bình phương 16 (bình phương 4)
– Khi phân tích các số nguyên tố, bình phương hoàn hảo chỉ chứa các thừa số nguyên tố với các số mũ chẵn.
Ví dụ: Hình vuông 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24
– Một số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ dư 2; Số lẻ khi chia cho 8 luôn dư 1.
– Công thức tính hiệu của hai số chính phương: a2 – b2 = (a+b).(ab).
– Ước số nguyên dương của một bình phương là số lẻ.
3. Một số dạng bài tập về số bình phương:
3.1. Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương, hay tổng của nhiều số chính phương:
Cơ sở phương pháp luận: Để chứng minh một số n là một số chính phương, ta thường dựa vào định nghĩa
có nghĩa.
3.2. Dạng 2: Chứng minh một số không là số chính phương:
Cơ sở phương pháp luận: Để chứng minh n không phải là số chính phương, tùy bài toán ta có thể
sử dụng các cách sau:
– Cách 1. Chứng minh n không viết được dưới dạng bình phương của một số nguyên.
– Cách 2. Chứng minh n2 < k < (n+1)2 trong đó k là một số nguyên.
– Cách 3. Chứng minh n tận cùng bằng 2; 3; 7; số 8.
– Cách 4. Chứng minh n có dạng 4k + 2; 4k+3.
– Cách 5. Chứng minh n có dạng 3k + 2.
– Cách 6. Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p nhưng không chia hết cho p^2.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng số n = 20042 + 20032 + 20022 – 20012 không phải là số chính phương.
Câu trả lời: Ta thấy chữ số tận cùng của các số 20042, 20032, 20022, 20012 lần lượt là 6,9,4,1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương.
Ví dụ 2: Một số tự nhiên có tổng các chữ số của nó bằng 2018 có thể là số chính phương không? Tại sao?
Câu trả lời: Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 là n
Ta có: 2018 = 3m + 2 nên số tự nhiên n chia cho 3 dư 2 nên số n có dạng 3k + 2 với k là số tự nhiên. Mặt khác, đối với một số phương trình không có dạng 3k + 2 thì số tự nhiên n không phải là số chính phương.
3.3. Dạng 3: Điều kiện để một số là số chính phương:
Cơ sở phương pháp luận: Chúng tôi thường sử dụng các phương pháp sau:
+ Cách 1: Dùng định nghĩa.
+ Cách 2: Dùng chẵn, lẻ.
+ Cách 3: Sử dụng tính chất chia hết và chia có dư.
+ Cách 4: Sử dụng tính chất.
Ví dụ 1: Tìm số nguyên dương n sao cho các biểu thức sau là số chính phương: A = n2 – n + 2
Câu trả lời:
a, Với n = 1 thì A = n2 – n + 2 = 2 không phải là số chính phương
Với n = 2 thì A = n2 – n + 2 = 4 là số chính phương.
Với n > 2 thì A = n2 – n + 2 không phải là số chính phương vì (n – 1)2 = n2 – 2n – 1 < n2 – n – 2 < n2
Vậy n = 2 thì A là số chính phương
Ví dụ 2: Chứng minh rằng số trong đó n thuộc N và n>1 không phải là số chính phương.
Chúng ta có:
= với mọi n>1.
=> (n2 +n)2 với mọi n > 1.
Mặt khác
= MỘT với mọi n>1
=>
Chúng ta có là hai số tự nhiên liên tiếp nên A không thể là số chính phương.
3.4. Dạng 4: Tìm số chính phương:
Cơ sở phương pháp: Dựa vào định nghĩa số chính phương A = trong đó k là số nguyên và yêu cầu của bài toán để tìm số chính phương thỏa mãn bài toán.
Ví dụ: Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 là số chính phương.
Câu trả lời:
Chúng ta có:
an = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1
= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) +1
= (n2 + 3n)2+ 2(n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n + 1)2
Nếu n là số tự nhiên thì (n2 + 3n + 1)2 cũng là số tự nhiên nên an là số chính phương.
4. Dấu hiệu nhận biết và ví dụ về số bình phương hoàn hảo:
Từ định nghĩa về một hình vuông hoàn hảo, bạn cũng cần biết các dấu hiệu để nhận biết một hình vuông hoàn hảo như sau:
Số cuối (đơn vị): Một số chính phương chỉ có thể kết thúc (đơn vị) bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9. Ngược lại, các số kết thúc bằng 2, 3, 7, 8 không phải là số chính phương.
Dựa vào tính chất của số chính phương.
Dựa vào khái niệm, đặc điểm, tính chất của số chính phương ta có một số ví dụ về hình vuông hoàn hảo như sau:
– 4 là số chính phương chẵn vì 4 = 22
– 9 là số lẻ chính phương vì 9 = 32
– 16 là số chính phương chẵn, vì 16 = 42
– 25 là số chính phương lẻ, vì 25 = 52
– 36 là số chính phương chẵn, vì 36 = 62
– 225 là số chính phương lẻ, vì 225 = 152
– 289 là số chính phương lẻ vì 289 = 172
– 576 là số chính phương chẵn, vì 576 = 242
– 1.000.000 là số chẵn, vì 1.000.000 = 1.0002
Phân loại số chính phương:
Có hai loại hình vuông hoàn hảo: hình vuông chẵn và hình vuông lẻ.
Một số chính phương được gọi là số chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn và ngược lại. Một số chính phương được gọi là số lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ.
5. Ứng dụng số bình phương:
Một hình vuông hoàn hảo không chỉ là một khám phá toán học để giúp tính toán. Bên cạnh đó, dò tìm số bình phương góp phần phát triển các ngôn ngữ lập trình. Thuật toán kiểm tra số bình phương C++. Thuật toán kiểm tra bình phương là một trong những thuật toán rất cơ bản khi bạn bắt đầu học lập trình. Nó sẽ giúp bạn rèn luyện tư duy logic.
