1. Những hằng đẳng thức cơ bản:
– Bình phương của một tổng: (a+b)2=a2+2ab+b2
Chứng minh đẳng thức:
VP = a2+2ab+b2
=(a2+ab)+(b2+ab)
=a(a+b)+b(a+b)
=(a+b)(a+b)
=(a+b)2 =VT (đpcm)
– Bình phương của một hiệu: (a−b)2=a2−2ab+b2
Chứng minh đẳng thức:
VP = a²-2ab+b²
= a² -ab -ab +b²
= a(a-b) -b.(a-b)
= (a-b).(a-b)
= (a-b)² = VT (đpcm)
– Hiệu hai bình phương: a2−b2=(a+b)(a−b)
Chứng minh đẳng thức:
VP = (a-b).(a+b)
= a² +ab -ab -b²
= a² -b² + (ab-ab)
= a² -b² + 0
= a² -b² = VP
– Lập phương của một tổng: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Chứng minh đẳng thức:
VT = (a+b)3
=(a+b)(a+b)(a+b)
=a(a+b)(a+b)+b(a+b)(a+b)
=(a2+ab)(a+b)+(ab+b2)(a+b)
=(a3+a2b+a2b+ab2)+(a2b+ab2+ab2+b3)
=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3
=a3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2+b3
=a3+3a2b+3ab2+b3 = VP (đpcm)
– Lập phương của một hiệu: (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
Chứng minh đẳng thức:
VT = (a-b)3
=(a-b)(a-b)(a-b)
=a(a-b)(a-b)-b(a-b)(a-b)
=(a2-ab)(a-b)-(ab-b2)(a-b)
=(a3-a2b-a2b+ab2)-(a2b-ab2-ab2+b3)
=(a3-2a2b+ab2)-(a2b-2ab2+ab2+b3)
= a3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-ab2-b3)
=a3-3a2b-3ab2+b3 = VP (đpcm)
– Tổng hai lập phương: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
Chứng minh đẳng thức:
VP = (a+b)(a2-ab+b2)
=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
=a3+b3= VT (đpcm)
– Hiệu hai lập phương: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
Chứng minh đẳng thức:
VP = (a-b)(a2+ab +b2)
=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
=a3-b3= VT (đpcm)
2. Những hằng đẳng thức mở rộng:
– Hằng đẳng thức bậc 2 mở rộng:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
Chứng minh đẳng thức:
VT = (a+b+c)2
= [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2c(a+b) +c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = VP (đpcm)
– (a – b + c )2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac
Chứng minh đẳng thức:
VP = (a-b+c)2
= [(a-b)+c]2
= (a-b)2+2c(a-b) +c2
= a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2
= a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ca = VT (đpcm)
– (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2bc + 2ac + 2ad + 2bd + 2cd
Chứng minh đẳng thức:
VT = (a+b+c+d)2
= [(a+b)+(c+d)]2
= (a+b)2+2(a+b)(c+d)(c+d)2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+2ad+2bd+c2+2cd+d2
= a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2bc + 2ac + 2ad + 2bd + 2cd = VP (đpcm)
– Hằng đẳng thức bậc 3 mở rộng:
– (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b)(a + c)(b + c)
Chứng minh đẳng thức:
VP =(a+b+c)3
=[(a+b)+c]3
=(a+b)3+c3+3(a+b)c(a+b+c)
=a3+b3+c3+3ab(a+b)+3c(a+b+c)(a+b)
=a3+b3+c3+3(a+b)(ab+ac+cb+c^2)
=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a) = VT ( đpcm)
– a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a3 + b3 + c3 – ab – ac – bc)
Chứng minh đẳng thức:
(a+b)3= a3 + 3a2b +3ab2 + b3
= a3 + b3 + 3ab (a+b)
VT = a3 + b3 +c3 -3abc
= (a+b)3 – 3ab (a+b) + c3 – 3abc
= (a+b)3 + c3 – 3ab (a+b) – 3abc
= (a+b+c) (a2 +2ab + b2 -ac – bc + c2 – 3ab)
= (a+b+c) (a2+ b2 +c2 -ab – bc – ac) =VP (đpcm)
– a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
Chứng minh đẳng thức:
(a+b)3= a3 + 3a2b +3ab2 + b3
= a3 + b3 + 3ab (a+b)
suy ra: a3 + b3 = (a+b)3-3ab (a+b)
– a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
Chứng minh đẳng thức:
(a-b)3= a3 – 3a2b +3ab2 – b3
= a3 – b3 – 3ab (a-b)
suy ra: a3 – b3 = (a-b)3+3ab (a-b)
– Hằng đẳng thức bậc 4: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Chứng minh đẳng thức:
[(a+b)2]2
a2+2ab+b2]2
=[(a2+2ab)+b2]2
= [(a2+2ab)2+2(a2+2ab)b2+b4
=VP (đpcm)
– Hằng đẳng thức bậc 5:
( a + b )5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 +b5
Chứng minh đẳng thức:
Ta có:
3. Những hằng đẳng thức nâng cao:
Bình phương của n số hạng (n>2)
(a1+a2+a3+…+an−1+an)2=a12+a22+a32+…+an2+2a1a2+2a1a3+…+2a1an+2a2a3…+an−1an
Hằng đẳng thức an+bn ( với n là số lẻ)
an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2+…+bn−1)
Hằng đẳng thức an−bn ( với n là số lẻ)
an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+…+bn−1)
Hằng đẳng thức an−bn (với n là số chẵn)
an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+…+bn−1)
hoặc: =(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2+…−bn−1)
Cách nhớ: Gặp bài toán có công thức an−bn (với n là số chẵn) hãy nhớ đến công thức:
a2−b2=(a+b)(a−b) (viết (a+b) trước )
a2−b2=(a−b)(a+b) ( viết (a−b) trước ).
Chú ý: Gặp bài toán an+bn ( với n là số chẵn) hãy nhớ
a2+b2 không có công thức tổng quát biến đổi thành tích. Nhưng một vài trường hợp đặc biệt có số mũ bằng 4k có thể biến đổi thành tích được.
4. Bài tập áp dụng và lời giải:
4.1. Dạng bài tập 01:
Bài 1: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) x2 + 2x + 1
b) 9×2 + y2 + 6xy
c) 25a2 + 4b2 – 20ab
Lời giải:
a) x2 + 2x + 1
= x2 + 2.x.1 + 12
= (x + 1)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = x và B = 1)
b) 9×2 + y2 + 6xy
= 9×2 + 6xy + y2
= (3x)2 + 2.3x.y + y2
= (3x + y)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = 3x và B = y)
c) 25a2 + 4b2 – 20ab
= 25a2 – 20ab + 4b2
= (5a)2 – 2.5a.2b + (2b)2
= (5a – 2b)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = 5a và B = 2b)
4.2. Dạng bài tập 02:
Bài 2: Chứng minh rằng: (10a + 5)2 = 100a . a(a + 1) + 25
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.
Áp dụng để tính: 252; 352; 652; 752
Lời giải:
Ta có:
(10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52
= 100a2 + 100a + 25
= 100a(a + 1) + 25
Đặt A = a.(a + 1). Khi đó ta có:
a52 = (10a+5)2
= 100a(a+1)+25
= 100.A + 25
= A25
Do vậy, để tính bình phương của một số tự nhiên có dạng a5 , ta chỉ cần tính tích a.(a + 1) rồi viết 25 vào đằng sau kết quả vừa tìm được.
Áp dụng:
252 = (10.2 + 5)2 do đó a = 2 ⇒ A = a(a + 1) = 2.3 = 6 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 625. Vậy 252 = 625
352 = (10.3 + 5)2 do đó a = 3 ⇒ A = a(a + 1) = 3.4 = 12 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 1225. Vậy 352 = 1225
652 = (10.6 + 5)2 do đó a = 6 ⇒ A = a(a + 1) = 6.7 = 42 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 4225. Vậy 652 = 4225
752 = (10.7 + 5)2 do đó a = 7 ⇒ A = a(a + 1) = 7.8 = 56 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 5625. Vậy 752 = 5625
Bài 3: Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:
a) x2 + 6xy + … = ( … + 3y)2
b) … – 10xy + 25y2 = ( … – …)2
Lời giải:
a) Dễ dàng nhận thấy đây là hằng đẳng thức (1) với
A = x ;
2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.
Vậy ta có hằng đẳng thức:
x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2
hay x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2
b) Nhận thấy đây là hằng đẳng thức (2) với :
B2 = 25y2 = (5y)2 ⇒ B = 5y
2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x.
Vậy ta có hằng đẳng thức : x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2
= x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2
Bài 4: Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) 9×2 – 6x + 1.
b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + 1.
Lời giải:
a) 9×2 – 6x + 1
= (3x)2 – 2.3x.1 + 12
= (3x – 1)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = 3x; B = 1)
b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + 1
= (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y).1 + 12
= [(2x + 3y) +1]2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = 2x + 3y ; B = 1)
= (2x + 3y + 1)2
Bài 5: Tính nhanh:
a) 1012 ; b) 1992 ; c) 47.53
Lời giải:
a) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2.100 + 1 = 10000 + 200 + 1 = 10201
b) 1992 = (200 – 1)2 = 200 2 – 2.200 + 1 = 40000 – 400 + 1 = 39601
c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – 9 = 2491
Bài 6: Chứng minh rằng:
(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
(a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
Áp dụng:
a) Tính (a – b)2, biết a + b = 7 và a.b = 12.
b) Tính (a + b)2, biết a – b = 20 và a.b = 3.
Lời giải:
Chứng minh (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
Ta có:
VP = (a – b)2 + 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab
= a2 + (4ab – 2ab) + b2
= a2 + 2ab + b2
= (a + b)2 = VT (đpcm)
+ Chứng minh (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
Ta có:
VP = (a + b)2 – 4ab = a2 + 2ab + b2 – 4ab
= a2 + (2ab – 4ab) + b2
= a2 – 2ab + b2
= (a – b)2 = VT (đpcm)
+ Áp dụng, tính:
a) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 4.12 = 49 – 48 = 1
b) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab = 202 + 4.3 = 400 + 12 = 412
