Đến với môn toán lớp 6, các em sẽ phải làm quen với cách học và cách học bao quát hơn, cũng như cần có sự chuẩn bị kỹ lưỡng hơn về mặt kiến thức. Bao gồm các bài học về ước và bội. Vậy ước và bội là gì? Cách tìm ước và bội chuẩn?
Đầu tiên. Số chia là gì? Cách tìm số chia?
1.1. Khái niệm số chia:
Ước của số tự nhiên a là b khi a chia hết cho b.
Ví dụ: 9 chia hết cho 3 sau đó 3 là ước của 9.
Kí hiệu tập hợp ước của a là U(a).
Ví dụ Đầu tiên: Tìm tập hợp các ước của 5
→ Lần lượt chia 5 cho 1, 2, 3, 4, 5. trong đó 5 chia hết cho 1 và chia hết cho 5 nên U(5)={1; 5}
Ví dụ 2: Tìm tập hợp các ước của 4
→ Lần lượt chia 4 cho 1,2,3,4. Trong đó 4 chia hết cho 1,2,4 , nên U(4) = {1; 2;4}
1.2. Cách tìm số chia:
Ta có thể tìm ước của a (a>1) bằng cách lần lượt chia các số tự nhiên từ 1 đến a xem a chia hết cho số nào, rồi kết luận đó là các ước của a.
2. Ước số chung Đó là gì? Ước số chung lớn nhất:
2.Đầu tiên. Ý tưởng:
Ước số chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ví dụ: Viết tập hợp các ước chung của 4 và tập hợp các ước của 6, ta có:
U(4) = { Đầu tiên ; 2 ; 4 }
U(6) = { Đầu tiên ; 2 ; 3 ; 4 }
Như trên có thể thấyCác số 1 và 2 đều là ước của 4 và là ước của 6. Ta nói chúng là ước chung của 4 và 6.
Ta kí hiệu tập hợp các ước chung của 4 và 6 là UC(4, 6). Chúng ta có:
ƯC (4, 6) = {1 ; 2}
x € UCC (a, b) nếu ax và b ÷ x
Tương tự ta cũng có:
x € UCC (a, b, c) nếu a ÷ x, bx và c x
Ví dụ: Tìm ước chung của 15 và 20?
Chúng ta có :
U(15)= {1;3;5;15}
U(20)={1;2;4;5;10;20}
Vậy ước chung của 15 và 20 là: UC(15;20)= {1;5}
uhCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Các số nguyên tố cùng nhau là các số có ƯCLN bằng 1.
Muốn tìm các ước chung của các số đã cho ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.
2.2. Cách tìm ước chung lớn nhất:
Để tìm UCLN, hãy làm:
Bước 1: Chia mỗi số thành thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Tích của các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy về số mũ nhỏ nhất của nó. Sản phẩm đó chính là GCLN cần tìm.
Trường hợp mọi số nguyên đều bằng 0 thì chúng không có ƯCLN vì khi đó mọi số tự nhiên khác 0 đều là ước chung của các số đó. Nếu ít nhất một trong số các số này bằng 0 và ít nhất một số khác 0, thì GCC của chúng bằng với GCC của tất cả các số khác 0.
Ví dụ:
Ví dụ: Tìm ƯCLN của 12; 20; 30
Ta có: 12 = 2² × 3
20 = 2² × 5
30 = 2 × 3 × 5
Suy ra GCLN(12; 20; 30) = 2
Ghi chú:
+) Nếu các số đã cho không có ước chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
+) Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
+) Tròng các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho là số nhỏ nhất đó.
3. bội số là gì? Cách tìm bội số:
Bội số (tiếng Anh gọi là multiple) xuất hiện từ rất sớm khi chúng ta tiếp cận toán học ở bậc tiểu học. Tuy nhiên, khái niệm bội số rõ ràng không xuất hiện trong sách giáo khoa cho đến lớp 6.
Bội có thể hiểu là: nếu số tự nhiên x chia hết cho y thì x được gọi là bội của y.
Mọi số tự nhiên đều là bội số của 1. Có thể tìm bội số của một số khác 0 bằng cách nhân số đó với 1, 2, 3, v.v.
bội nhỏ nhất là đếm là nếu kết quả của phép chia a:b = 1 thì a là bội số nhỏ nhất của b. Nói cách khác a = b.
4. Bội số chung nhỏ nhất? Cách tìm bội chung nhỏ nhất:
4.1. Khái niệm BCNN:
Bội chung nhỏ nhất (NCBN) của hai hay nhiều số là số khác 0 nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung.
Hay hiểu một cách đơn giản bội chung nhỏ nhất là số khác 0 nhỏ nhất có thể chia hết cho 2 hay nhiều số tự nhiên khác nhau.
Bội số chung nhỏ nhất của a và b được kí hiệu là BCNN(a,b).
Ví dụ: Bội chung của 2 và 3 là tập hợp các số tự nhiên khác 0 chia hết cho 2 và 3 gồm 0, 6, 12, 18, 24,… Ta có thể thấy 6 là số nhỏ nhất.
4.2. Cách tìm bội chung nhỏ nhất:
Cách tìm bội chung nhỏ nhất:
Bước 1: Chia mỗi số thành số nguyên tố.
Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung và thừa số nguyên tố riêng.
Bước 3: Với các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy số mũ lớn nhất của nó. Kết quả này là bội chung nhỏ nhất được tìm thấy.
Chẳng hạn tìm bội chung nhất của 8 và 12?
Bước 1: phân tích tích 8 và 12 của các số nguyên tố:
8=2x2x2= 2^3
12=2 x 2 x 3= 2^2 x 3
Bước 2: chọn nhân tử chung, nhân tử riêng
Bước 3: nhân ước chung và ước riêng với số mũ lớn nhất thì bội chung nhỏ nhất của hai số cần tìm là tích của ước chung và ước riêng có số mũ lớn nhất
BCNN(8;12)= 2^3 x 3= 24
Kết luận: State Report(8;12)=24
5. Phương pháp giải và một số bTải về ứng dụng của ước số và bội số:
5.1. Các phương pháp chung để giải các bài toán về ước và bội:
Có hai phương pháp chính để giải quyết loại vấn đề này:
Cách 1: Bám vào định nghĩa ước chung lớn nhất để có thể biểu diễn hai số cần tìm. Đồng thời, liên hệ với các yếu tố của bài toán đã dùng để suy ra hai số đó.
Cách 2: Trường hợp không tìm được định nghĩa ta sẽ sử dụng mối liên hệ đặc biệt giữa 3 thừa số là ước chung lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tích của 2 số nguyên dương a, b.
Chương trình toán lớp 6 và đặc biệt là phần số học thường xuất hiện dạng bài tập tìm hai số nguyên dương khi có tin về ước và bội. Để thực hiện thành công các bài tập này, trước hết chúng ta cần đọc kỹ đề và làm theo phương pháp chung để xử lý tình huống mà đề bài đặt ra.
5.2. Một số bài tập tiêu biểu:
Bài 1: Tìm ƯCLN của:
a) 56 và 140
b) 24, 84, 180
c) 60 và 180
d) 15 và 19
TRẢ LỜI
a) Phân tích các số nguyên tố thành thừa số:
56 = 2³ × 7
140 = 2² × 5 × 7
Các thừa số nguyên tố chung là 2; 7.
⇒ uhCLN (56, 140) = 2² × 7 = 28
b) 84 = 2² × 3 × 7
24 = 2³ × 3
180 = 2² × 3² × 5
⇒ uhCLN(24; 84; 180) = 2× 3 = 12.
c) 60 = 2² × 3 × 5
180 = 2² × 3² × 5
⇒ uhCLN (60, 180) = 2² × 3 × 5 = 60
Bài 2: Cho a = 123456789; b=987654321.
Tìm ƯCLN của (a; b)
Phần thưởng:
Ta có: a⋮9,b⋮9 (vì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9)
Mặt khác b – 8a = 9 nên nếu UC(a; b) = d thì 9⋮d
Vậy mọi ƯCLN của a, b đều là ƯCLN của 9 hoặc 9 = ƯCLN(a; b)
Bài 3: Tìm các ước của 4, của 6, của 9, của 13 và của 1.
Trả lời:
U(4) = {1; 2; 4}
U(6) = {1; 2; 3; 6}
U(9) = {1; 3; 9}
U(13) = {1;13}
U(1) = {1}
Bài 4: Tìm GCC của:
a) 56 và 140
b) 24, 84, 180
c) 60 và 180
d) 15 và 19
Câu trả lời:
a) Phân tích các số nguyên tố thành thừa số:
56 = 2³ × 7
140 = 2² × 5 × 7
Các thừa số nguyên tố chung là 2; 7.
⇒ GCC (56, 140) = 2² × 7 = 28
b) 84 = 2² × 3 × 7
24 = 2³ × 3
180 = 2² × 3² × 5
⇒ ƯCLN(24; 84; 180) = 2²× 3 = 12.
c) 60 = 2² × 3 × 5
180 = 2² × 3² × 5
⇒ GCC (60, 180) = 2² × 3 × 5 = 60
Bài 5: Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16.
Giải: Vì vai trò của a và b như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b.
Từ
, do (a, b) = 16 nên a = 16m; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) trong đó m, n thuộc Z+; (m,n)=1.
[a, b] Theo định nghĩa BCNN:
= mnd = mn.16 = 240 => mn = 15
=> m=1, n=15 hoặc m=3, n=5 => a=16, b=240 hoặc a=48, b=80.[a, b] Chú ý: Ta có thể áp dụng công thức (**) để giải bài toán này: ab = (a, b).
=> mn.162=240.16 suy ra mn=15. Bài 6:
Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab=216 và (a,b)=6.
Lời giải: Lập luận tương tự bài 1, giả sử a ≤ b.
Do (a, b) = 6 => a = 6m; b = 6n với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1; m ≤ n.
Vậy: ab=6m.6n=36mn => ab=216 tương đương với mn=6 tương đương với m=1, n=6 hoặc m=2, n=3 tương đương với a=6, b=36 hoặc a=12, b=18. Bài 7: [a, b] Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180,
= 60.
Câu trả lời:[a, b] Từ (**) => (a, b) = ab/
= 180/60 = 3.
Tìm được (a, b) = 3, bài toán được chuyển thành bài toán 2.
Kết quả: a=3, b=60 hoặc a=12, b=15. [a, b] Chú ý: Ta có thể tính trực tiếp (a, b) từ định nghĩa LCC, Cân bằng trạng thái: Theo
ta có ab = mnd2 = 180; = mnd=60 => d=(a,b)=3.
Bài 8:
Học sinh lớp 6 của một trường có từ 200 đến 300 em. Nếu xếp vào hàng 4, hàng 5, hàng 7 đều dư 1 em. Tìm tổng số học sinh lớp 6 của trường đó. Sĩ số: 281 học sinh
Bài 9:
Có 96 cái bánh và 84 cái kẹo chia đều vào mỗi đĩa. Hỏi có thể chia nhiều nhất bao nhiêu cái đĩa. Hỏi khi đó mỗi đĩa có bao nhiêu cái bánh, cái kẹo?
A/S: 12 đĩa. Mỗi đĩa có 8 cái bánh và 7 cái kẹo. Trên đây là những khái niệm, định nghĩa và ví dụ về ước và bội, mong rằng những thông tin trên sẽ mang lại giá trị hữu ích cho bạn đọc.
